Absoluter Betrag

Absoluter Betrag

Der absolute Betrag, Absolutbetrag oder auch schlicht Betrag einer Zahl ist immer eine positive Zahl oder Null. Man schreibt den Betrag einer Zahl x als |x| oder als abs(x).

Table of contents

1 Konkrete Beispiele
2 Verallgemeinertes Prinzip: Bewertung
3 Betrag und Metrik
4 Norm
5 Beispiele

Konkrete Beispiele

Bei den reellen Zahlen ist der Betrag der Zahl die Zahl selbst, wenn sie positiv oder Null ist:

Wenn die Zahl negativ ist, gilt:

Man kann den Betrag auch als Entfernung der Zahl vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl ansehen. Übertragen auf komplexe Zahlen ist der Absolutbetrag einer Zahl z = a + ib die Entfernung dieser Zahl vom Ursprung der Gaußschen Zahlenebene. Für die komplexe Zahl z ist

Verallgemeinertes Prinzip: Bewertung

Verallgemeinert spricht man von einem Absolutbetrag (bzw. von einer Bewertung), wenn eine Funktion |·| von einem Körper K in die reellen Zahlen folgende Eigenschaften erfüllt:

1. |x| ≥ 0 für alle x und |x| = 0 genau dann, wenn x = 0.

2. |x|·|y| = |x·y| für alle x, y

3. |x + y| ≤ |x| + |y| (die Dreiecksungleichung)

Gilt zudem

4. |x + y| ≤ max{|x|,|y|}

so spricht von einem nichtarchimedischen, andernfalls von einem archimedischen Betrag. Die oben genannte Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen ist archimedisch. Da 3. aus 4. folgt, nennt man 4. auch die verschärfte Dreiecksungleichung. Nichtarchimedische Beträge spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der p-adischen Zahlen.

Betrag und Metrik

Über den Betrag kann man eine Abstandsfunktion (Metrik) definieren: Der Abstand d(x,y) zweier Zahlen x, y ist der Betrag ihrer Differenz |x - y|.

Ist der Betrag nichtarchimedisch, dann ist die erzeugte Metrik eine Ultrametrik.

Norm

Ähnlich definiert man in einem Vektorraum V eine Funktion ||·|| von V nach R, so dass für alle x,y aus V und l aus R gilt:

1. ||x|| ≥ 0 und ||x|| = 0 genau dann, wenn x = 0

2. ||lx|| = |l|·||x||

3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

Eine solche Funktion heißt Norm auf V, und man interpretiert die Zahl ||x|| als die Länge des Vektors x.

Beispiele

|x+3| = 5 Gesucht ist x

1. x + 3 = 5

daraus folgt x = 2

2. -(x + 3) = 5

daraus folgt - x - 3 = 5
daraus folgt - x = 8
daraus folgt x = - 8