| |
|
Dies ist ein längerer Artikel zur Addition in der Mathematik. Weitere Bedeutungen finden sich am Ende der Seite.
Die Addition ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Unter Addieren versteht man "Zusammenzählen" beim Rechnen.
Das Zeichen für die Addition ist das Pluszeichen "+". Zum Beispiel: 2 + 3 = 5 wird gelesen als "zwei plus (und) drei gleich fünf".
Die zwei oder mehr Zahlen, die addiert werden, heißen Summanden; das Ergebnis heißt Summe.
Es gelten folgende elementare Rechengesetze:
| Table of contents |
|
2 Schriftliche Addition 3 weitere Notationsmöglichkeiten 4 Andere Bedeutungen von Addition |
Addition in verschiedenen Mengen
Die Addition kann ohne Ausnahme innerhalb der Mengen der natürlichen, der ganzen, der rationalen und der reellen Zahlen ausgeführt werden. Auch andere Mengen, wie die der komplexen Zahlen besitzen eine Verknüpfung, die als Addition bezeichnet wird, weil sie denselben formalen Rechenregeln genügt.
Addition nennt man eine Reihe mathematischer Verknüpfungen, die alle die folgenden Eigenschaften haben:
Die Addition auf den natürlichen Zahlen definiert sich folgendermaßen:
bedeutet hier den Nachfolger von a (also a+1; aber dieser Ausdruck wird hier ja gerade erst definiert).
Nun wird die vorletzte Ziffer unter Berücksichtigung der Zehnerstelle des vorherigen Zwischenergebnisses aufaddiert. Wieder wird die letzte Ziffer des neuen Zwischenergebnisses als Zehnerstelle des Endergebnisses vermerkt und ein Übertrag gebildet.
Dieser Vorgang wird solange nach links fortschreitend fortgeführt, bis die vorderste Stelle erreicht ist.
Außerdem können Summen auch mittels Summensymbol, dem großen griechischen Buchstaben Sigma, notiert werden.
Verfahren
Die zu addierenden Zahlen werden so untereinander geschrieben, dass entsprechende Stellen untereinander stehen. Die Zahlen werden also rechtsbündig angeordnet. Nun beginnt man, indem man dur die letzten Ziffern der Zahlen addiert und von diesem Zwischenergebnis die letzte Ziffer als Einerstelle des Endergebnisses notiert. Ist das Zwischenergebnis mehrstellig, so werden die anderen Stellen in die weitere Addition mit einbezogen.Beispiel
69
193
482
9+3+2=14 ergibt als Einerstelle 4 und als Übertrag 1-. 1-
69
193
482'''
4'''
1+6+9+8=24 ergibt als Zehnerstelle 4 und als Übertrag 2--. Anschließend erzeugt 2+1+4=7 die Hunderterstelle.'''2--
1- '''
69
193
482'''
744'''
Geübte Kopfrechner können sich durch Umsortieren und Rechnen mit zweistelligen Unterteilungen viel Rechenzeit sparen. Wer z. B. weiß, dass sich 23+77 und 65+35 jeweils zu 100 ergänzen, wird in der folgenden Rechnung die zweite und dritte Zeile tauschen: 365
123
235
277'''
1000'''
weitere Notationsmöglichkeiten
Wenn nicht alle zu summierende Ausdrücke einzeln ausgeschrieben werden, kann man die fehlenden Ausdrücke mit Auslassungspunkten (...) markieren. Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 kann also als 1 + 2 + ... + 99 + 100 geschrieben werden.
Unter das Sigma wird die Zählvariable (in diesem Fall i) und der Startwert geschrieben. Über dem Sigma steht der Endwert. Zum Beispiel:
Bildet man eine Summe aus unendlich vielen Ausdrücken, wird diese unendliche Reihe genannt. Man schreibt dafür als Obergrenze das Symbol für Unendlichkeit (∞).
Der Umgang mit diesem Symbol, sowie einige häufig vorkommende Summen, werden im Artikel Summe beschrieben.