Algebraische Unabhängigkeit

Algebraische Unabhängigkeit

In der abstrakten Algebra ist die algebraische Unabhängigkeit eine Eigenschaften von Elementen einer transzendenten Körpererweiterung, welche besagt, dass diese Elemente keine Polynomgleichung mit Koeffizienten im Grundkörper erfüllen.

Zum Beispiel sind die komplexen Zahlen &pi und i algebraisch unabhängig (denn π ist transzendent, i aber algebraisch), während π+1 und π² algebraisch abhängig sind (denn sie erfüllen mit X = π+1 und Y = π² die Polynomgleichung Y = (X-1)²).

Definition

Sei L/K eine Körpererweiterung. Seien v₁, ..., v_n Elemente von L. Gibt es ein Polynom f in n Variablen und Koeffizienten in K, d.h. f in K[X₁, ..., X_n], so dass

f(v₁, ..., v_n) = 0,

dann heißen v₁, ..., v_n algebraisch abhängig.

Existiert kein solches Polynom, dann heißen die Elemente algebraisch unabhängig.

Allein mit Polynomen erhält man auch die Abhängigkeit von Inversen, denn z.B. stehen X = e und Y = 1/e in der Polynom-Beziehung XY = 1.

Jedes über dem Grundkörper K algebraische Element ist algebraisch abhängig, denn es erfüllt ein Polynom über K. (So wie der Nullvektor eines Vektorraums allein schon linear abhängig ist.)

Ähnlich zum in Vektorräumen verwendeten Konzept der Linearkombination (lineares homogenes Polynom), welches den Begriff der linearen Unabhängigkeit liefert, betrachtet man manchmal bei Körpererweiterungen algebraische Kombinationen transzendenter Elemente, d.h. beliebige (gebrochenrationale) Polynome mit Koeffizienten im Grundkörper.

Ein maximales System algebraisch unabhängiger Elemente bildet eine so genannte Transzendenzbasis, deren Mächtigkeit man Transzendenzgrad der Erweiterung nennt.