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Die allgemeine Relativitätstheorie stellt eine Erweiterung der speziellen dar und geht für hinreichend kleine Gebiete der Raum-Zeit in diese über.
Obwohl die allgemeine Relativitätstheorie experimentell nicht so leicht zugänglich ist wie die spezielle, gibt es für sie eine ausreichende Zahl von experimentellen Belegen. Insbesondere hat sie sich bisher in der von Einstein formulierten Form gegen alle später vorgeschlagenen Alternativen durchsetzen können.
Der folgende Artikel baut auf den Ausführungen des Artikels Relativitätstheorie auf und hat zum Ziel, das Verständnis bezüglich der dort erwähnten Phänomene und Strukturen zu vertiefen.
Die allgemeinen Relativitätstheorie führt eine Wechselwirkung zwischen der Masse und der Raum-Zeit ein mit den beiden folgenden Eigenschaften:
Zur Masse trägt dabei genaugenommen nicht nur ihre materielle Komponente bei, sondern alle Energieformen, da einer Energie über die Beziehung E=mc2 auch eine Masse entspricht. So sind beispielweise auch evtl. vorhandene elektromagnetische Felder zu berücksichtigen, da sie auch eine Energieform darstellen. In welcher Weise die Masse die Raum-Zeit krümmt, wird durch die einsteinschen Feldgleichungen festgelegt (s. u.).
Die zweite Eigenschaft beschreibt die Gravitation. Dabei wird die Bewegung eines Gegenstands entlang eines bestimmten Weges im in Raum als Linie in der 4-dimensionalen Raum-Zeit interpretiert und als seine Weltlinie bezeichnet. Das sei am Beispiel eines Systems von Massenpunkten erläutert, wie beispielsweise einem Kugelsternhaufen. Da ein Beobachter in jedem Moment nur den gewöhnlichen 3-dimensionalen Raum wahrnehmen kann, und nicht die gesamte 4-D Raum-Zeit, kann er die Geodäten der einzelnen Sterne nicht unmittelbar als solche erkennen. Auf seinem eigenen Weg durch die Raum-Zeit beobachtet er statt dessen im Raum krumme Bahnkurven der Sterne um das Zentrum des Haufen, aus denen er nach der newtonschen Mechanik auf Kräfte schließt, die er Gravitationskräfte nennt. In Wirklichkeit handelt es sich jedoch um Scheinkräfte als Folge der Krümmung der Raum-Zeit. Jeder Stern fliegt in gewissem Sinne in der Raum-Zeit so gut geradeaus, wie es angesichts der Krümmung überhaupt möglich ist. Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie gibt es letztlich keine Gravitationskräfte. In diesem Sinne bezieht sich auch die Kräftefreiheit, von der oben die Rede ist, nur auf die Abwesenheit von nicht-gravitativen Kräften.
Eine Krümmung der Raum-Zeit hat im Allgemeinen auch eine Krümmung des in sie eingebetteten Raumes zur Folge. Zur Erklärung der Gravitation reicht die Betrachtung des krummen Raumes alleine jedoch nicht aus. So ist der Raum in dem wir auf der Erde leben natürlich nicht so stark gekrümmt, dass er eine Wurfparabel erklären könnte. Zum Verständnis der Wurfparabel muss man berücksichtigen, dass beispielsweise ein Ball, den ein Jongleur von einer Hand in die andere wirft, auf seinem Weg durch den Raum von etwa 1m auch einen Weg durch die Zeit von etwa 1s zurücklegt. Im Rahmen der Mathematik der Raumzeit entspricht diese eine Sekunde in gewisser Weise einer Art Wegstrecke in Richtung der Zeitachse von etwa 300.000km. Diesen Wert erhält man, indem man der Zeit t über x=ct einen Weg x in der Raum-Zeit zugeordnet, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Was wir letztlich sehen, ist also eine winzige Krümmung der Raum-Zeit in einen Gebiet von astronomischem Ausmaß. Die Situation ist vergleichbar mit einer straff gespannten Wäscheleine. Betrachtet man sie von der Seite, so erscheint sie gerade. Betrachtet man sie jedoch von einem Ende aus und blickt mit einem Auge in ihre Richtung, so nimmt man auch einen relativ schwachen Durchhang deutlich wahr. Der Umstand, dass wir den Ball auf seinem Weg von 300.000km begleiten, lässt uns analog die Krümmung der Raum-Zeit deutlich erkennen.
Das Gleichnis mit der Wäscheleine ist zwar plausibel und liefert qualitativ das richtige Ergebnis, es ist aber strenggenommen nicht ganz zutreffend. Im Unterschied zur Wäscheleine fliegt der Ball nämlich entlang einer Geodäte und damit tatsächlich geradeaus, so "gut" er das in der gekrümmten Raum-Zeit kann. Wir dagegen nehmen den krummeren Weg, da wir durch eine Gegenkraft nach oben beschleunigt werden, mit der uns der Boden, auf dem wir stehen. nach oben drückt. Es ist die Gegenkraft, die die Gravitationskraft kompensiert, mit der vorteilhaften Folge, dass wir nicht in die Tiefe stürzen. Genauer betrachtet äußert sich also die Krümmung der Raum-Zeit in dieser Situation dadurch, dass wir nicht von der Stelle kommen, obwohl wir einer permanenten Kraft von unten ausgesetzt sind. Das Argument, dass sich hier zwei Kräfte kompensieren würden, ist dadurch haltlos, dass die nach unten gerichtete Gravitationskraft als Scheinkraft entlarvt wurde. Die Situation ist vergleichbar mit der des scheinbaren Gleichgewichts von Zentrifugal- und Zentripedalkraft bei einer Rotationsbewegung, die für den rotierenden Beobachters vorliegt. Für den ruhenden Beobachter jedoch, der die Situation angemessener beurteilen kann, ist die Zentrifugalkraft eine Scheinkraft, so dass tatsächlich eine Beschleunigung vorliegt (s. Corioliskraft).
Bereits in der klassischen Mechanik war das Prinzip der Äquivalenz von träger und schwerer Masse bekannt. Es besagt in seiner klassischen Form, dass die schwere Masse, die angibt, wie stark die durch ein Gravitationsfeld an einem Körper erzeugte Kraft ist, und die träge Masse, die sagt, wie stark ein Körper durch eine Kraft beschleunigt wird, äquivalent sind. Dies bedeutet insbesondere, dass jeder Körper sich unabhängig von seiner Masse in einem Schwerefeld (bei Abwesenheit anderer Kräfte) gleich bewegt. So fallen beispielsweise im Vakuum alle Körper gleich schnell, und die geostationäre Bahn (die Bahn, in der ein Satellit für eine Erdumkreisung gerade einen Tag braucht, so dass der Satellit über der Erdoberfläche stillzustehen scheint) ist für schwere Satelliten wie für leichte Satelliten stets dieselbe.
Folge des klassischen Äquivalenzprinzips ist auch, dass ein Beobachter in einem geschlossenen Raum, ohne Beobachtung der Umgebung, aus der Bewegung von Gegenständen im Raum nicht ablesen kann, ob er sich in Schwerelosigkeit oder im freien Fall befindet. Dieses Prinzip wurde von Einstein verallgemeinert. Das Einsteinsche Äquivalenzprinzip besagt, dass ein Beobachter in einem geschlossenen Raum ohne Information von außen durch überhaupt kein Experiment feststellen kann, ob er sich in der Schwerelosigkeit befindet oder nicht.
Es muss allerdings beachtet werden, dass dieses Prinzip nur lokal gilt: So wird ein weiter unten (näher an der Erde) befindliches Objekt von der Erde stärker angezogen, als ein weiter oben befindliches. Ist der frei fallende Raum groß genug, so wird der Beobachter daher feststellen, dass Objekte, die sich weiter oben befinden, von denen, die sich weiter unten befinden, entfernen. Umgekehrt wird sich bei ausreichender horizontaler Ausdehnung des Raumes die Richtung der Erdanziehung merklich ändern, so dass der frei fallende Beobachter feststellen wird, dass weit auseinandergelegene Körper sich aufeinander zu bewegen. Ein ausgedehnter Körper wird also eine Kraft erfahren, die ihn in eine Richtung auseinanderzieht und in den dazu senkrechten Richtungen zusammendrückt. Anhand dieser Kraft, Gezeitenkraft genannt, kann er feststellen, dass er sich in einem Gravitationsfeld befindet. Daher muß der Raum hinreichend klein sein, damit dieser Effekt unterhalb der Nachweisgrenze bleibt (genauere Meßgeräte bedingen entsprechend einen noch kleineren Raum).
Man würde zunächst vermuten, dass für die Krümmung der 4-dimensionalen Raumzeit eine fünfte Dimension erforderlich ist, in die die Raumzeit eingebettet ist, so wie im Alltag krumme Flächen nur im Raum denkbar sind. Eine solche fünfte Dimension wäre jedoch prinzipiell unzugänglich, und die Art der Einbettung der Raum-Zeit wäre nicht eindeutig. Da es möglich ist, die Krümmung mathematisch ohne einen Bezug zu einer fünften Dimension zu beschreiben, wird ihr auch keine Realität zugewiesen. So lässt sich beispielsweise eine Krümmung des Raumes über die Bestimmung des Verhältnisses von Durchmesser und Umfang eines Kreises oder die Kontrolle der Winkelsumme des Dreickecks vermessen, ohne diesen Raum von einer weiteren Dimension aus zu analysieren zu müssen.
Die mathematische Beschreibung einer krummen Raum-Zeit erfolgt mit den Methoden der Riemannschen Geometrie, die die Euklidische Geometrie des uns vertrauten flachen Raumes ablöst. Dabei wird die Krümmung über einen so genannten Krümmungstensor beschrieben. Die Einsteinschen Feldgleichungen stellen den Zusammenhang mit einen so genannten Energie-Impuls-Tensor her, der insbesondere die lokale Massendichte bzw. über E=mc2 die Energiedichte enthält. Diese Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie enthalten 10 unabhängige Komponenten, ähnlich wie eine Vektorgleichung aus 3 Komponenten besteht. Sie lauten:
Eine krumme Raum-Zeit ist nicht mehr mit kartesischen Koordinaten beschreibbar. Statt dessen kann das Koordinatensystem, für das man die Einsteinschen Feldgleichung aufstellen will, nahezu beliebig insbesondere beliebig krumm gewählt werden. Es muss lediglich jedem Ereignis in Raum und Zeit auf irgendeine Weise 4 Parameter zuweisen. Genaugenommen müssen sie lediglich auf kleinen Raumgebieten, die der speziellen Relativitätstheorie gehorchen, hinreichend differenzierbare Funktionen der dort lokal definierbaren karthesischen Koordinaten sein, damit die Methoden der Differentialgeometrie für die krumme Raum-Zeit überhaupt angewendet werden können.
Damit gilt in der allgemeinen Relativitätstheorie ein deutlich erweitertes Relativitätsprinzip. Die Gesetze der Physik haben danach nicht nur in allen Inertialsystemen die gleiche Form wie in der speziellen Relativitätstheorie, sondern in beliebigen Koordinatensystemen.
Dieses Ergebnis hat Konsequenzen, die nicht auf Anhieb verständlich sind. So bedeutet es beispielsweise, dass selbst einen Beobachter auf einem rotierenden Drehschemel den Standpunkt vertreten kann, er sei in Ruhe und der Kosmos rotiere um ihn herum. In der Tat beschreiben die Einsteinschen Feldgleichungen selbst diese Situation korrekt. In diesem rotierenden Koordinatensystem nimmt der Krümmungstensor Werte an, die tatsächlich die enormen Zentripetalkräfte zur Folge haben, die die Sterne auf ihrer Keisbahn um den Beobachter auf ihrer Bahn halten. Dass sich dabei die Sterne aus Sicht des rotierenden Beobachters mit vielfacher Lichtgeschwindigkeit bewegen, steht nicht im Widerspruch zur Theorie, da die Lichtgeschwindigkeit nur in der speziellen Relativitätstheorie als Grenze gilt, d. h. für hinreichend kleine Raum-Zeit-Bereiche, die die Kriterien für Inertialsysteme erfüllen. Aus der Sicht des rotierenden Beobachters können sich in einigen Lichtjahren Entfernung senkrecht zur Rotationsachse jedoch keine Sterne in Ruhe befinden, so dass sich nirgendwo Sterne lokal mit Überlichtgeschwindigkeit begegnen können. Ein Informations- bzw. Materietransport von einem Stern zu einem anderen mit Überlichtgeschwindigkeit bleibt damit weiterhin unmöglich.
Obwohl es möglich ist, den Kosmos aus der Sicht eines rotierenden Beobachters zu beschreiben, sind die Gleichungen eines nicht-rotierendes Bezugssystems, in dem die meisten Objekte ruhen oder sich nur langsam bewegen, in der Regel einfacher. Im allgemeinen Fall wie beispielsweise eines Kugelsternhaufens aus Neutronensternen und Schwarzen Löchern, die sich auf allerengstem Raum umkreisen, so dass die Raumzeit hochgradig gekrümmt und zudem dynamisch ist, ist von vornherein kein Kandidat für ein ausgezeichnetes Koordinatensystem erkennbar. Das Relativitätsprinzip besagt für diesen allgemeinen Fall, dass es auch nicht nötig ist, danach zu suchen.
Einstein war bei der Entwicklung der Relativitätstheorie stark von Ernst Mach und dessen, von Einstein so benannten, Machschen Prinzip beeinflusst. Dieses Prinzip besagt, dass die Trägkeitkräfte eines Körpers nicht von dessen Bewegung relativ zu einem absoluten Raum sonderen von dessen Bewegung relativ zu den anderen Massen im Universum abhängt. Die Trägheitskräfte sind demzufolge also Resultat der Wechselwirkung der Massen untereinander und ein unabhängig von diesen Massen exisierender Raum wird verneint. Demnach sollten z.B. Fliehkräfte rotierender Körper verschwinden, wenn das restliche Universum "mitrotiert". Die Behandlung des Problems ist jedoch mathematisch sehr anspruchvoll und bis heute Gegenstand von Forschungen. Es hat sich herausgestellt, dass dieses Prinzip nicht automatisch aus den Einsteinschen Feldgleichungen folgt. So fand Kurt Gödel 1949 eine Lösung der Feldgleichungen (Gödel Universum) welche dem Machschen Prinzip widerspricht. D.R. Brill und J.M Cohen konnten hingegen 1966 für eine langsam rotierende dünne Massenschale mit dem Durchmesser ihres Schwarzschildradius eine Näherungslösung der Einsteinschen Feldgleichungen angeben die das Machsche Prinzip erfüllt.
siehe auch: Relativitätstheorie, Spezielle Relativitätstheorie, Äquivalenz, Lorentz-Kontraktion, Periheldrehung
Die Wechselwirkung zwischen Materie und der Raum-Zeit
Die erste Eigenschaft beschreibt eine Wirkung der Masse auf die Raum-Zeit, und die zweite umgekehrt. Es handelt sich daher um eine Wechselwirkung im Wortsinn.Der schiefe Wurf als Folge einer gekrümmten Raum-Zeit
Äquivalenz von Träger und Schwerer Masse
Krümmung der Raum-Zeit ohne eine 5. Dimension
Die mathematische Beschreibung der Gravitation
Dabei ist der Ricci-Krümmungstensor, das Ricci-Krümmungsskalar, der Metrische Tensor, die kosmologische Konstante, der Energie-Impuls-Tensor, die Lichtgeschwindigkeit, die Gravitationskonstante und π die Kreiszahl. Die kosmologische Konstante Λ wurde von Einstein zunächst lediglich eingeführt, um ein zeitlich stabiles Universum zu gewährleisten. Das Gleichgewicht, das er damit erreichte, erwies jedoch als ein instabiles. Λ hat formal den Stellenwert einer Art Integrationskonstanten, und hat daher zunächst keinen bestimmten Zahlenwert, der direkt aus der Theorie folgen würde.Das Relativitätsprinzip in der allgemeinen Relativitätstheorie
Die Allgemeine Relativitätstheorie und das Machsche Prinzip