Alternierende Gruppe

Alternierende Gruppe

siehe auch: Gruppentheorie || Symmetrische Gruppe

Für alle natürliche Zahlen n > 2 ist die alternierende Gruppe Alt_n ( oder A_n ) eine nicht-triviale Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sym_n.

Die Trägermenge von Alt_n besteht aus den geraden Permutationen von Sym_n, Alt_n besitzt die Ordnung n!/2 ( = halbe Fakultät von n ).

Für n > 4 gehört Alt_n zu den einfachen Gruppen.

Table of contents

1 Inversionen und Inversionszahl, gerade und ungerade Permutationen
2 Gruppeneigenschaften
3 Abgeschlossenheit

3.1 Transpositionen
3.2 Transpositionen und Inversionszahl
3.3 Transpositionen und Abgeschlossenheit

Inversionen und Inversionszahl, gerade und ungerade Permutationen

Von einer Inversion spricht man, wenn zwei "Stellen" einer Permutation in "falscher" Reihenfolge stehen. Zur Ermittlung der Inversionszahl einer Permutation werden alle ihrer Stellen paarweise miteinander verglichen und die Anzahl der Inversionen wird gezählt.

Beispiel: Die Permutation ( 1 4 3 2 5 ) besitzt die Inversionen "4vor3", "4vor2" und "3vor2" und damit die Inversionszahl 3.

Von einer geraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine gerade Zahl ist, von einer ungeraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine ungerade Zahl ist.

Gruppeneigenschaften

Für die Menge der geraden Permutationen gilt:

Die identische Permutation id = ( 1 2 ... n ) ist Element dieser Menge.

Die Menge ist bezüglich Verkettung abgeschlossen, d.h. wenn p1 und p2 gerade Permutationen sind, sind auch p1 ◊ p2 und p1^-1 gerade, eine Beweisskizze folgt weiter unten.

Mit diesen Voraussetzungen "erbt" Alt_n direkt von Sym_n alle notwendigen Gruppeneigenschaften:

Für alle geraden Permutationen p1, p2 und p3 gilt: p1 ◊ ( p2 ◊ p3 ) = ( p1 ◊ p2 ) ◊ p3
Für alle geraden Permutationen p1 gilt: p1 ◊ id = id ◊ p1 = p1
Für alle geraden Permutationen p1 gilt: es gibt ein gerades p1^-1 mit p1 ◊ p1^-1 = p1^-1 ◊ p1 = id

Abgeschlossenheit

Transpositionen

Als Transposition bezeichnet man eine Permutation, bei der genau 2 verschiedene Stellen vertauscht werden, z.B. ( 1 2 5 4 3 ) bei der 3 und 5 vertauscht werden.

Allgemein gilt für alle n-stelligen Permutationen p1 und p2: p2 läßt sich mit endlich vielen Transpositionen aus p1 erzeugen.

Als Spezialfall hiervon gilt für eine beliebige Permutationen p2: p2 läßt sich mit endlich vielen Transpositionen aus der identischen Permutation id erzeugen.

Im Bild links ist dargestellt, wie die Permutation ( 2 5 3 1 4 ) aus ( 1 2 3 4 5 ) mit 5 Transpositionen erzeugt wird. Bei der Wahl der notwendigen Transpositionen existiert eine gewisse Freiheit, so könnte man im Bild links beispielsweise die Transpositionen b und c wegfallen lassen, da sie sich offensichtlich aufheben. Ebenso könnte man durch den Einbau weiterer sinnloser Transpositionen die Anzahl der Transpositionen auf 7, 9, 11, ... erhöhen. Allerdings ist es nicht möglich, ( 2 5 3 1 4 ) mit einer geraden Anzahl von Transpositionen aus ( 1 2 3 4 5 ) zu erzeugen.

Transpositionen und Inversionszahl

Durch eine einzelne Transposition ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl, d.h. aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt.

Bei einer Transposition, die aus
( ...x...y_i...z... ) die neue Permutation
( ...z...y_i...x... ) erzeugt, setzt sich die Änderung der Inversionszahl zusammen aus der Summe folgender Änderungen:

Änderung, die sich aus der neuen Reihenfolge von x und z ergibt, diese ist +1, falls x < z, ansonsten -1.
Änderung, die sich aus der neuen Reihenfolge von x, y_i und z ergibt.
- falls y_i größtes oder kleinstes Element von x, y_i, z ist, beträgt die Änderung 0.
- falls y_i mittleres Element von x, y_i, z ist, beträgt die Änderung +2 oder -2.

Die Summe aus einer ungeraden und beliebig vielen geraden Zahlen ergibt immer eine ungerade Zahl.

Die weiter oben getroffene Aussage läßt sich verallgemeinern:

Durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl, d.h. aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt.
Durch eine gerade Anzahl von Transpositionen ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine gerade Zahl, d.h. aus einer geraden Permutation wird erneut eine gerade Permutation und aus einer ungeraden Permutation wird erneut eine ungerade Permutation.

Transpositionen und Abgeschlossenheit

Da id eine gerade Permutation ist, gilt:

alle geraden Permutationen lassen sich nur durch eine gerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen.
alle ungeraden Permutationen lassen sich nur durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen.

Wenn p und q gerade Permutationen sind, dann gibt es gerade Zahlen pn und pq, so daß sich p und q als Verkettung von Transpositionen wie folgt darstellen lassen:

p = t_p1 ◊ ... ◊ t_pn
q = t_q1 ◊ ... ◊ t_qn

Damit gilt p ◊ q = t_p1 ◊ ... ◊ t_pn ◊ t_q1 ◊ ... ◊ t_qn, somit ist auch die Verkettung p ◊ q gerade.

Analog kann man herleiten: Die Verkettung einer geraden und einer ungeraden Permutation erzeugt immer eine ungerade Permutation.
Damit führt die Annahme, eine Permutation p sei gerade und p^-1 sei ungerade wegen p ◊ p^-1 = id zum Widerspruch.