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2 ARMA-Modelle in der Statistik |
Mathematische Definition eines ARMA-Prozesses
In das Modell fließen Rauschtermeterme und gewichtete frühere Werte der Zeitreihe linear ein. ARMA-Modelle sind eines der Hauptwerkzeuge zur Vorhersage von beobachteten, stochastischen Signalen. Sind die zu modellierenden Signale nicht stationär, dann muss man sie gegebenenfalls vor der Modellierung differenzieren, um den Trend zu beseitigen.
Regressionsmodelle spielen in der Statistik eine grosse Rolle. In der Ökonometrie müssen oft mehrere Zeitreihen der Form miteinander in Zusammenhang gebracht werden, die s.g. Wirtschaftsindikatoren, also z.B. Zins, Arbeitslosigkeit, Investitionen usw. Man unterscheidet zwischen endogenen zeitabhängigen Variablen Y(t) (die also vom Modell erklärt werden) und exogenen Variablen X(t), die von aussen definiert werden. Mit ihnen kann man das allgemeine lineare Gleichungssystem (LGS)
Alle Modelle der ARMA-Familie haben dieses LGS zur Grundlage. Viele LGS können mit einer einfachen linearen Regression (LR) geschätzt werden. Voraussetzung, dass die Schätzer unverzerrt sind, ist, dass die Störterme von Y nicht autokorrelieren, da Korrelation der Fehler untereinander einen LR-Schätzer immer verzerrt. Wenn Autoregressionsterme der Form
,
also um eine Autoregression der Fehlerterme erweitern. Praktisch spielen vor allem Erweiterungen der Ordnung 1:
eine Rolle. Das ist ein Markov-Prozess.
Der Begriff "MA" für solche rein stochastischen Prozesse ist eher irreführend. ARMA-Modelle sind also Simultan-Modelle für deterministische Zusammenhangsmodelle (AR-Anteil, entspricht Regressionsmodell) und stochastischen Prozessen (MA-Anteil).
ARMA-Modelle (auch ARMAX, ARIMA) werden durch nichtlineare Regressionsverfahren geschätzt.
Siehe auch: ARIMA-Modelle, Yule-Walker-Gleichungen, Autokorrelation
MA-Modell
Das Signal setzt sich aus einem durch gleitendes Mittel (=moving average) der Länge m geglätteten Signal einer (nicht direkt messbaren) anderen Zeitreihe und einem Rauschterm zusammen.AR-Modell
Das Signal setzt sich aus einem geglätteten Signal seiner n vorhergehenden Werte und einem Rauschterm zusammen.ARMA-Modell
Dieses Modell wird auch als ARMA(n,m)-Modell bezeichnet, wobei n und m die Ordnung des Prozesses heißen.
Mit Hilfe des so genannten Verschiebungsoperators L (von lag=Zeitverschiebung):
schreibt man kürzer auch:
wobei φ und θ beides endliche Polynome (der Grade n und m) darstellen:
ARMA-Modelle in der Statistik
formulieren. B,Y,A und X sind Matrizen mit sovielen Zeilen wie Beobachtungen und sovielen Spalten wie Variablen des jeweiligen Typs. Jeder Zeitpunkt zählt als Beobachtung. Geht einunddiesselbe Variable zu verschiedenen Zeitpunkten (also als Y(t), Y(t-1) usw.) in das LGS sein, so zählt dies als mehrere Variablen. Die Gleichung hat also drei Variablen. Das ist entscheidend für die ARMA-Modelle. ist ein Vektor mit sovielen Zeilen wie Beobachtungen. ARMAX und ARIMA
Ist der Regressor X dabei, spricht man von ARMAX-Modellen. Gehen nur die (diskreten) Ableitungen von Y in das Modell ein, so dass hinterher die Modellprognosen wieder integriert (siehe Integration) werden müssen, so spricht man von ARIMA-Modellen, das I steht für "Integrated".
vorliegen, liegt in der Regel eine solche Autokorrelation der Störterme vor.Interpretation des Moving Average - Teils
Man sollte das LGS daher um einen Term der Form