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Ein Beweis ist die Darlegung der Richtigkeit (Verifikation) oder Unrichtigkeit (Falsifikation) einer Aussage oder eines Urteils durch empirische oder logische Gründe.
Es sind zwei grundlegende Methoden der Beweisführung zu unterscheiden:
Der induktive Beweis wird anhand von Beobachtungen und Erfahrungen geführt und kann daher grundsätzlich keine absolute Gewißheit über den Wahrheitsgehalt einer Aussage verschaffen. (Beispiel: Lange Zeit wurde die Aussage "Alle Schwäne sind weiß" durch Beobachtung ausnahmslos bestätigt, konnte also als bewiesen gelten. Infolge der Entdeckung Australiens wurde diese Aussage widerlegt - dort fand man schwarze Schwäne.) Der induktive Beweis wird vor allem in der Rechtsprechung und den Erfahrungswissenschaften angewendet. Siehe dazu:
Der deduktive Beweis ist die Ableitung eines Urteils aus als wahr geltenden Voraussetzungen (Prämissen), Axiomen oder Definitionen nach festen logischen Schlußregeln. Der deduktive Beweis führt innerhalb des ihm zugrundeliegenden Systems zu einer endgültigen Entscheidung über die Richtigkeit einer Aussage. (Beispiel: Der Satz des Pythagoras ist innerhalb der euklidischen Geometrie wahr und unwiderlegbar.) Der deduktive Beweis wird vor allem in der Logik und der Mathematik angewendet - damit auch in den Bereichen der Naturwissenschaften, die logisch-mathematisch formulierbar sind. Siehe dazu:
Ein Paradoxon liegt vor, wenn man eine Aussage und gleichzeitig auch die Negation dieser Aussage beweisen kann, was (zumindest in der zweiwertigen Logik) ein Widerspruch ist. (Beispiel: "Russells Barbier" - In Sevilla wird ein Mann genau dann vom Barbier von Sevilla rasiert, wenn er sich nicht selbst rasiert. Rasiert sich der Barbier selbst?) Paradoxien zeigen, daß das ihnen zugrundeliegende logische System unvollständig ist und präzisiert werden muß. Gödel hat allerdings bewiesen, daß Vollständigkeit prinzipiell nicht zu erreichen und die Widerspruchsfreiheit eines Systems unbeweisbar ist.
Der Analogieschluß (Analogismus) ist streng genommen kein Beweis - er besteht im Schluß auf die ungewissen Teile eines nicht vollständig bekannten Systems aus der Kenntnis eines ähnlichen, aber vollständig bekannten. Er ist daher vor allem ein Instrument zur Hypothesenbildung. (Beispiel: Das Periodensystem der Elemente, das auf Analogieschlüssen beruht, aber erst durch die Quantenphysik als richtig bestätigt wurde.)
Die Methode des Beweises wurde zuerst in der Geometrie durch Euklid und in der Philosophie durch Platon angewendet. Die erste Beweistheorie stammt von Aristoteles. (Noch zu ergänzen: Hinweise auf René Descartes, Karl Popper, David Hilbert, Bertrand Russell, Kurt Gödel ...)
Der deutsche, ursprünglich aus der Rechtsprechung kommende Begriff "Beweis" ist seit dem 17. Jahrhundert auch im philosophischen und mathematischen Zusammenhang zu finden.
Induktiver oder empirischer Beweis
Als vollständige Induktion kommt der induktive Beweis auch in der Mathematik vor.Deduktiver oder axiomatischer Beweis
Analogieschluß
Geschichte