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Eine Differentialgleichung, auch Differenzialgleichung, oft abgekürzt als DGL, ist eine Gleichung, die eine Funktion f(x) und eine oder mehrere Ableitungen dieser Funktion enthält. Um eine DGL zu lösen, muss eine Funktion gefunden werden, die der Differentialgleichung genügt.
DGLs werden oft benötigt, um Vorgänge zu beschreiben, bei denen die Veränderung einer Größe durch sie selbst bestimmt wird.
Das Zerfallsgesetz in der Physik etwa besagt, dass die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atome einer Menge instabiler Atome von der gesamten Anzahl N der vorhandenen Atome abhängt.
Insofern ist die Abnahme der Anzahl der Atome proportional zur Anzahl aller Atome:
Ein anderes einfaches Beispiel ist der ungedämpfte harmonische Oszillator mit der DGL
Anwendungen
Durch Berechnen der Funktion N(t) aus dieser Differentialgleichung kann die Anzahl der Atome zu jedem Zeitpunkt bestimmt werden.
Die gesuchte Funktion ist hier die Funktion x(t), deren zweite zeitliche Ableitung als Beschleunigung aus den Bewegungsgesetzen stammt.
Differentialgleichungen werden nach unterschiedlichen Kriterien klassifiziert.
Dabei schließen sich die folgenden Klassifikationen nicht gegenseitig aus.
Weiterhin ist es in der Theorie der Differentialgleichungen üblich, auch Systeme von Differentialgleichungen als "Differentialgleichung" aufzufassen.
Solche Systeme liegen vor, wenn mehrere Gleichungen vorliegen, in denen gleichzeitig mehrere Funktionen und deren Ableitungen zusammenwirken.
Die in der DGL gesuchte Funktion f kann von einer Variablen x oder mehreren (x = (x1, x2, ..., x2) in Vektorschreibweise) abhängen.
Im ersten Falle spricht man von einer gewöhnlichen, im letzteren Falle von einer partiellen Differentialgleichung.
Hierbei ist implizit angenommen, dass Ableitungen nach allen vorkommenden Variablen auftreten; andernfalls spricht man von Parametern.
Die Ordnung einer Differentialgleichung ist durch die Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung gegeben.
Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung lassen sich immer in gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung umwandeln.
Die Theorie der linearen Differentialgleichungen ist ein wichtiger Teilbereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Lineare Differentialgleichungen lassen sich oft mit Standardmethoden lösen.
Eine lineare Differentialgleichung ist ein lineares System gewöhnlicher Differentialgleichungen.
Man unterscheidet lineare Differentialgleichungen mit variablen oder konstanten Koeffizienten und hat in jedem dieser beiden Fälle homogene und inhomogene Problemstellungen.
Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer eine Funktion (oder im Falle eines Systems von Differentialgleichungen mehrere Funktionen).
Im Allgemeinen reicht die Differentialgleichung jedoch nicht aus, um die Funktion eindeutig zu bestimmen.
Beispielsweise werden alle schwingenden Pendel durch eine Differentialgleichung beschrieben, und der generelle Bewegungsablauf folgt immer dem gleichen Prinzip.
Der konkrete Bewegungsablauf ist jedoch durch die Rand- oder Anfangsbedingung(en) (wann wurde das Pendel angestoßen, und wie weit) bestimmt.
Nur wenige Typen von Differentialgleichungen lassen sich analytisch lösen.
Insbesondere partielle Differentialgleichungen können oft nur mit numerischen Methoden approximiert werden.
Neben linearen Systemen lassen sich Differentialgleichungen, die separierbar sind, durch direkte Integration lösen.
Manche Typen von Differentialgleichungen lassen sich durch Potenzreihen lösen.
Das Runge-Kutta-Verfahren ist ein weitverbreitetes numerisches Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.
Siehe auch: Integralgleichung
Theorie
Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen
Ordnung einer Differentialgleichung
Lineare Differentialgleichungen
Das Lösen von Differentialgleichungen
Spezielle Lösungsmethoden
Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen
Die Laplace-Transformation eignet sich aufgrund ihres Differentiationssatzes u.a. dazu Differentialgleichungen zu lösen. Dazu transformiert man die Differentialgleichung in den Frequenzraum, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitraum zurück.
Spezielle Differentialgleichungen
Numerische Verfahren