Differentialoperator

Differentialoperator

Ein Differentialoperator ist in der Mathematik die Interpretation einer Ableitungsvorschrift als Operator, der auf eine Funktion angewendet wird. Das Ergebnis ist wiederum eine Funktion. So kann d/dx in

als ein solcher Operator interpretiert werden. Differentialoperatoren lassen sich miteinander verknüpfen. Durch Weglassen der Funktion, auf die sie wirken, erhält man auf diese Weise reine Operatorgleichungen (Operatorkalkül) wie beispielsweise

Differentialoperatoren dienen in der Praxis vor allem zur abkürzenden Schreibweise von Differentialgleichungen.

Beispiele

Differentialoperatoren der partiellen Ableitung einer Funktion nach einer von mehreren Variablen, beispielsweise

sowie Kombinationen, wie beispielsweise

Der Nabla-Operator , oft auch als geschrieben. Er hat für den dreidimensionalen Fall mit kartesischen Koordinaten die Gestalt des formalen Vektors

Er wird für die Formulierung des Gradienten, der Divergenz und der Rotation verwendet.

Der Laplace-Operator oder Deltaoperator

Er erscheint oft in Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen.

Der d'Alembert-Operator auch Quabla genannt

wobei c meist die Lichtgeschwindigkeit ist.

Eigenschaften

Differentialoperatoren sind linear, das heißt ist D ein Differentialoperator, f und g Funktionen und c eine Konstante, so gilt

Differentialoperatoren lassen sich allgemein gemäß

kombinieren. Jedes Polynom von Differentialoperatoren ist wiederum ein Differentialoperator.