Die Zahl e kann unter anderem durch eine Grenzwertbildung definiert werden. Zwei bekannte Darstellungen dieser transzendenten Zahl lauten:

Es gilt:

(e^x)' = e^x (Die Ableitung (von f(x)=e^x) ist gleich f(x))

e^i·π = -1 (Dabei ist i die imaginäre Einheit und π die Kreiszahl pi), dies ist die Eulersche Identität

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1 Programmbeispiele zur Berechnung von e 2 Anschauliche Interpretation 3 Weblinks

Programmbeispiele zur Berechnung von e

Die mathematische Reihe kann man sehr einfach in ein Pseudocode-programm umsetzen, um Näherungswerte für e zu ermitteln:

E = 1 : F = 1

For K = 1 to 10
 F = F*K
 E = E + 1/F
 Print E
Next K

Am Anfang hat man E und F gleich 1 gesetzt. F ist die Fakultätsvariable, die nach dem gewünschten Ausdruck zu F = K! anwächst. Mit wachsendem Schleifendurchlauf nähert sich der Wert von E immer mehr an den wahren Wert von e an.

Eine weitere Variante in der Programmiersprache C++:

unsigned long f = 1;
double e = 1;
for (int k = 0; k < 10; k++) {
 f *= k;
 e += 1 / double(f);
}

Anschauliche Interpretation

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz von 100%. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach n Verzinsungen K_n = K₀ * (1+p)ⁿ, wobei K₀ das Startkapital, p der Zinssatz, und n die Anzahl der Verzinsungen sind.

In unseren Beispiel sind K₀ = 1 EUR, p = 100% = 1, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder p = 100% / n = 1/n, wenn der Zinszuschlag n mal im Jahr erfolgt.

Bei jährlichem Zuschlag wäre K₁ = 1*(1+1)¹ EUR = 2,00 EUR. Bei halbjährlichem Zuschlag hat man p = 1/2, also K₂ = 1*(1+0,5)² EUR = 2,25 EUR, also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung (p=1/365) erhalten wir K₃₆₅= 1*(1+1/365)³⁶⁵ = 2,714567... EUR. Wenn man momentan verzinst, wird n unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene 1. Formel für e.

Weblinks