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Die Fibonacci-Zahlen sind eine festgelegte Folge von positiven ganzen Zahlen und wurden um ca. 1200 von Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa) entdeckt. Ursprünglich dienten sie ihm dazu, das Wachstum einer Kaninchenpopulation zu beschreiben.
| Table of contents |
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2 Formel von Binet 3 Näherungsformel für große n 4 Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt 5 Computerprogramm 6 Weblinks |
Die Folge ist rekursiv definiert durch:
Will man die Fibonacci-Zahl für ein großes n berechnen, so ist das mit dem angegebenen Bildungsgesetz recht umständlich, weil man zunächst alle vorhergehenden Fibonacci-Zahlen berechnen muss. Wünschenswert wäre deshalb eine geschlossene Formel, mit der man eine Fibonacci-Zahl direkt - ohne Kenntnis der vorhergehenden Zahlen - berechnen kann.
Tatsächlich hat der französische Mathematiker Jacques-Philippe-Marie Binet bereits 1843 eine solche geschlosssene Darstellung angegeben:
Diese Formel ist bekannt als Formel von Binet.
Für große Werte von n kann man den Ausdruck bn+1=-0,618033989
n+1 gegenüber dem Ausdruck an+1=1,618033989n+1 vernachlässigen. Dann erhält man die Näherungsformel
Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert sich der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder f(n+1)/f(n) dem Goldenen Schnitt an.
Dies kann man sehr einfach einsehen, wenn man die obige Näherungsformel für große n benutzt:
Wie sieht ein Programm aus, das die Fibonacci-Zahlen ausrechnet ?
Definition der Fibonacci-Zahlen
Das bedeutet, dass
Daraus ergibt sich die Folge zu:
Manchmal werden als Startwerte auch 0 und 1 genommen, es ergibt sich damit die um eine Stelle verschobene Fibonacci-FolgeFormel von Binet
Näherungsformel für große n
Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt
Computerprogramm
Sub
a = 0
b = 1
For x = 1 To 100
Print a
Print b
a = a + b
b = a + b
Next x
End SubWeblinks