Fundamentalsatz der Algebra

Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra ist ein wichtiger algebraischer Satz, wird aber mit Mitteln der Analysis bewiesen. Er besagt, dass jedes Polynom n-ten Grades mit komplexen Koeffizienten genau n Nullstellen hat, wenn man jede mit ihrer Vielfachheit zählt. Die Nullstellen können allerdings auch bei reellen Koeffizienten schon komplex sein.

Beispiel

Die Polynomgleichung

hat die Lösungen

die natürlich die Nullstellen des Polynomes sind. Die Lösung 0 wird dabei doppelt gezählt, was aus der zerlegten Form des Polynomes ersichtlich ist:

Anmerkungen

Komplexe Lösungen treten bei reellen Koeffizienten immer paarweise konjugiert auf.

Die Zerlegung von Polynomen erfolgt mittels des Wurzelsatzes von Vietá.

(Verschiedene Beweise sind auf der englischen Seite zu finden, vielleicht werden sie noch hierher übersetzt?)\n