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Der Gaußsche Integralsatz, auch Satz von Gauß-Ostrogradski, Satz von Gauß oder Divergenzsatz, ist ein Ergebnis aus der Vektoranalysis. Er stellt einen Zusammenhang her zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes und dem durch das Feld vorgegebenen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche.
Der Gaußsche Integralsatz folgt als Spezialfall aus dem Satz von Stokes, der wiederum den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert.
| Table of contents |
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2 Bedeutung 3 Geschichte |
Formulierung des Satzes
Sei kompakt mit abschnittsweise glattem Rand ∂V. Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld ν. Sei ferner F ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von V. Dann gilt
mit der Abkürzung dS = νdS.
Bedeutung
Der Gaußsche Integralsatz findet in vielen Bereichen der Physik Anwendung, vor allem in der Elektrodynamik und der Fluiddynamik.
Im letzteren Fall wird die Bedeutung des Satzes besonders anschaulich. Nehmen wir an, das Vektorfeld F beschreibt fließendes Wasser in einem gewissen Raumbereich. Dann beschreibt die Divergenz von F gerade die Stärke von Quellen und Senken in einzelnen Punkten. Möchte man nun wissen, wieviel Wasser aus einem bestimmten Bereich V insgesamt herausfließt, so ist intuitiv klar, dass man folgende zwei Möglichkeiten hat:
Geschichte
Der Satz wurde wahrscheinlich zum ersten Mal von Joseph Louis Lagrange im Jahre 1762 formuliert und unabhängig davon später von Carl Friedrich Gauß (1813), George Green (1825) und Michail Wissilowitsch Ostrogradski (1831) wiederentdeckt. Ostrogradski lieferte auch den ersten formalen Beweis.