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Interpretiert man die Höhenkarte einer Landschaft als eine Funktion z(x, y), die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von z an einer Stelle (x, y) ein Vektor, der in die Richtung des steilsten Anstieges zeigt, und dessen Länge ein Maß für die Steilheit ist.
Betrachtet man die Wärmeverteilung einer vom Strom durchflossenen Leiterbahn auf einem Mikrochip, so läßt sie sich durch ein Skalarfeld von unterschiedlichen Temperaturen beschreiben. Der negative Gradient stellt den Wärmefluss dar. Der Wärmefluss ist somit ein Vektorfeld. Der negative Vektorgradient des Wärmeflusses wiederum ist der Temperaturgradient.
Gradient wird also ein Vektor genannt, der jedem Punkt eines Skalarfeldes zugeordnet werden kann. Er hat die Richtung der Normalen der jeweiligen Niveaufläche auf der die Werte des Skalarfeldes konstant sind und ist in der Richtung wachsender Funktionswerte des Skalarfeldes orientiert. Der Betrag des Gradienten stimmt mit der Richtungsableitung der Funktion des Skalarfeldes in Normalenrichtung überein.
In den beiden folgenden Bildern stellen die Grauschattierungen das Skalarfeld dar, wobei schwarz den höchsten Funktionswert darstellt, und die Pfeile symbolisieren den zugehörigen Gradienten.
| Table of contents |
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2 Jacobi-Matrix eines Vektorfeldes 3 Rechenregeln 4 Anwendung |
Der Gradient eines Skalarfeldes ist definiert als der Vektor der partiellen Ableitungen. Er existiert daher nur an den Stellen, an denen bezüglich aller Koordinaten partiell differenzierbar ist. Er wird als oder als geschrieben. Dabei ist der Nabla-Operator und grad das Funktionssymbol des Gradienten. Für den Fall eines Skalarfeldes ist der Gradient in kartesischen Koordinaten definiert als
Der Vektor der partiellen Ableitungen kann auch für vektorwertige Funktionen definiert werden. Ist eine vektorwertige Funktion, dann seien F1, ..., Fm ihre Komponentenfunktionen, das heißt
Mit dieser Verallgemeinerung definiert man die zweite Ableitung eines Skalarfeldes φ(x1 .. xn), seine Hesse-Matrix:
Rechenregeln (c: Konstante; u und v: Skalarfelder):
Vollständiges oder totales Differential eines Skalarfeldes
siehe auch:
Gradient eines Skalarfeldes
Allgemein gilt
Der Gradient kann je nach Verwendungszweck als Zeilen- oder Spaltenvektor geschrieben werden.Jacobi-Matrix eines Vektorfeldes
Man definiert dann die Ableitung von als (Spalten-)Vektor der (Zeilenvektor-)Gradienten der Fi. Der Vektorgradient des Feldes ist die Jakobi-Matrix.
Für m=n ist das Ergebnis ein Tensor der 2. Stufe. Tensoren dieser Art spielen beispielsweise bei der Beschreibung von mechanischer Spannung und Elastizität eine Rolle.Hesse-Matrix
Rechenregeln
Anwendung