Hamiltonoperator

Hamiltonoperator

Der Hamiltonoperator (Symbol H) beschreibt in der Quantenmechanik die Größe der Gesamtenergie eines Systems. Der Zustand eines quantenmechanischen Systems kann durch einen Vektor im abstrakten Hilbertraum charakterisiert werden. Die physikalisch beobachtbaren Größen wirken als hermitesche Operatoren auf diesen Vektor.

Der Hamiltonoperator H entspricht der beobachtbaren Größe der Gesamtenergie des Systems. Die Eigenvektoren von H, als |a⟩ notiert, liefern einen Satz orthonormaler Basisvektoren im Hilbertraum. Das Spektrum der erlaubten Energieniveaus des Systems ist durch die Eigenwerte E_a gegeben:

Hier ist H der hermitesche Operator. Der Betrag der Energie ist immer eine reelle Zahl.

Je nach dem Hilbertraum des Systems, kann das Energiespektrum diskret oder kontinuierlich sein. In der Tat gibt es Systeme, die in manchen Wertebereichen ein kontinuierliches und in anderen ein diskretes Energiespektrum aufweisen. Ein Beispiel dafür ist ein endlicher Potentialtopf, in dem gebundenen Zustände mit diskreten negativen Energien und freie Zustände mit kontinuierlichen positiven Energien auftreten.

Der Hamiltonoperator beschreibt auch die zeitliche Entwicklung eines Quantenzustandes. Wenn |ψ(t)⟩ der Zustand des Systems zur Zeit t ist, dann

wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist. Diese Gleichung ist die bekannte Schrödingergleichung. Wenn der Zustand zum Anfangszeitpunkt (t = 0) bekannt ist, können wir die Gleichung integrieren und so den Zustand jedes beliebigen späteren Zeitpunkts erhalten. Wenn H selbst zeitunabhängig ist, dann gilt:

wobei der Exponentialoperator auf der rechten Seite durch seine Reihendarstellung definiert wird.