Nach dem Abitur 1951 absolvierte Apel zunächst eine Lehre als Im- und Exportkaufmann in Hamburg. Danach begann er 1954 ein Studium der Wirtschaftswissenschaften in Hamburg, welches er 1960 mit der Promotion zum Dr. rer.pol. abschloss. Bereits 1955 trat Apel in die SPD ein. Von 1970 bis 1988 gehörte er dem Bundesvorstand seiner Partei an, 1984 bis 1986 war er auch Mitglied des Präsidiums.

Von 1958 bis 1961 war er Sekretär der Sozialistischen Fraktion im Europäischen Parlament.

Ab 1962 war er dann Beamter beim Europäischen Parlament in Straßburg wo er als Abteilungsleiter zuständig für die Wirtschaftss- und Finanzpolitik sowie für die Verkehrspolitik war. Von 1965 bis 1969 gehörte er selbst dem Europäischen Parlament an und war von 1965 bis 1990 für die SPD Mitglied des Deutschen Bundstages. Im Bundestag wurde er 1969 Stellvertretender Vorsitzender der SPD-Fraktion.

1972 wurde er dann Parlamentarischer Staatssekretär für Europafragen im Auswärtigem Amt.

Im Kabinett von Helmut Schmidt war er von 1974 bis 1978 Bundesminister für Finanzen und nach der Kabinettsumbildung von 1978 bis 1982 Bundesminister der Verteidigung.

Nach dem Regierungswechsel und den Neuwahlen 1983 war er bis 1988 wieder Stellvertretender Vorsitzender der SPD-Fraktion. 1993 wurde er Honorarprofessor im Fachbereich Wirtschaftswissenschaften der Universität Rostock.