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| Table of contents |
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2 Beispiele: 3 Hilfsgröße "a über b": 4 Rechenbeispiel H 45,20,10 ( 4 ): 5 Eigenschaften der Hypergeometrische Verteilung: 6 Mathematische Definition |
Allgemeine Problemstellung:
Zu einer Menge mit a Elementen gibt es zwei voneinander unabhängige Teilmengen
mit b, bzw. c Elementen.
Die Hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Parametern a, b und c H a,b,c
gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die beiden Teilmengen genau 0, 1, 2, 3, ... Elemente
gemeinsam besitzen.
Beim Zahlenlotto gibt es 49 numerierte Kugeln; davon werden
bei der Auslosung 6 gezogen; auf dem Lottoschein werden 6 Zahlen angekreuzt.
Die hier benötigte Hilfsgröße "a über b" wird im allgemeinen als Binomialkoeffizient bezeichnet
und besitzt eine eigene Darstellung:
Es gibt ( 20 über 4 ) = 4845 Möglichkeiten, genau 4 gelbe Kugeln auszuwählen.
Beispiele:
In einem Behälter befinden sich 45 Kugeln, davon sind 20 gelb.
Es werden 10 Kugeln entnommen.
Die Verteilung H 45,20,10 gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau
0, 1, 2, 3, ..., 10 der entnommenen Kugeln gelb sind.
Die Verteilung H 49,6,6 gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, genau
0, 1, 2, 3, ..., 6 "Treffer" zu erzielen.Hilfsgröße "a über b":
Die Zahl "a über b" bezeichnet die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten,
aus einer Menge mit a Elementen eine Teilmenge mit b Elementen auszuwählen.
Es gilt: ( a über b ) = ( a * ( a - 1 ) * ( a - 2 ) * ... * ( a - b + 1 ) ) / ( 1 * 2 * 3 * ... * b )
Beispiel: ( 10 über 3 ) = ( 10 * 9 * 8 ) / ( 1 * 2 * 3 ) = 720 / 6 = 120
Es gilt immer: ( a über 0 ) = 1Rechenbeispiel H 45,20,10 ( 4 ):
Zu dem oben aufgeführten Beispiel der farbigen Kugeln soll die Wahrscheinlichkeit für genau 4 gelbe Kugeln ermittelt werden.
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus:
Anzahl der Möglichkeiten, genau 4 gelbe ( und damit genau 6 violette ) Kugeln auszuwählen
geteilt durch
Anzahl der Möglichkeiten, genau 10 Kugeln beliebiger Farbe auszuwählen
Es gibt ( 25 über 6 ) = 177100 Möglichkeiten, genau 6 violette Kugeln auszuwählen.
Da jede "gelbe Möglichkeit" mit jeder "violetten Möglichkeit" kombiniert werden kann,
ergeben sich 4845 * 177100 = 858049500 Möglichkeiten für genau 4 gelbe und 6 violette Kugeln.
{| border="0"\n| valign="top" |
H 45,20,10 ( 4 )
|
= ( 20 über 4 ) * ( 25 über 6 ) / ( 45 über 10 )
= 4845 * 177100 / 3190187286
= 858049500 / 3190187286
= 0.2689652434405696
|}
Das heißt, in rund 27 Prozent der Fälle werden genau 4 gelbe Kugeln entnommen.Eigenschaften der Hypergeometrische Verteilung:
Für alle natürliche Zahlen a, b, c, d mit a >= b und a >= c gilt:
Mathematische Definition
Die Massefunktion der Hypergeometrischen Verteilung ist
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable mit Hypergeometrischer Verteilung ist
Und ihre Varianz