Kleinsche Vierergruppe

Kleinsche Vierergruppe

In der Algebra ist die Kleinsche Vierergruppe die kleinste nicht-zyklische Gruppe. Sie ist benannt nach Felix Klein und wird oft mit dem Buchstaben V bezeichnet.

Ihre Verknüpfungstabelle ist diese:

*	1	a	b	c
1	1	a	b	c
a	a	1	c	b
b	b	c	1	a
c	c	b	a	1

Die Vierergruppe tritt z.B. auf als Symmetriegruppe eines Rechtecks:

  **************
  *            *
  **************

Die vier Elemente sind dabei: die Identität, die Spiegelung an der waagerechten Mittelachse, die Spiegelung an der senkrechten Mittelachse, und die 180 Grad-Drehung um den Mittelpunkt.

Die drei Elemente ungleich der Identität haben die Ordnung 2. Die Vierergruppe ist abelsch und isomorph zu Z/2Z × Z/2Z und zur Diedergruppe der Ordung 4.

Eine Permutationsdarstellung von V liefert die Nummerierung der Ecken des obigen Rechtecks:

V = {id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

In dieser Darstellung ist V ein Normalteiler der alternierenden Gruppe A₄ und auch der symmetrischen Gruppe S₄. In der Galoistheorie erklärt die Existenz der Kleinschen Vierergruppe in dieser Darstellung die Existenz der Lösungsformel für Gleichungen vierten Grades.

Man kann die Vierergruppe auch darstellen als Automorphismengruppe des folgenden Graphen:

  *----*
  *----*----*