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Seinen A, B, C beliebige Mengenn und f:A -> B und g: B -> C zwei Funktionenen mit den angegebenen Definitions- und Bildmengen. Dann ist die Komposition g o f (gesprochen: g hinter f) eine Funktion von A nach C, definiert durch die Vorschrift: (g o f) (x)= g(f(x)).
Wird die Menge F(A) aller Funktionen aus einer gegebenen Menge A auf sich selbst betrachtet, so definiert die Komposition eine innere Verknüpfung auf F (A), bezüglich derer F (A) (mit der identischen Abbildung als neutrales Element) ein so genanntes Monoid darstellt. Werden nur bijektive Funktionen herangezogen, ist das Monoid sogar eine (meist nicht-kommutative) Gruppe.
Beispiel:
Sei R die Menge der reellen Zahlen und f:R -> R, g:R -> R definiert durch