Konstruktion (Mathematik)

Geometrie

In der Geometrie versteht man unter einer Konstruktion die exakte zeichnerische Darstellung eines Körpers (Figur) aus gegebenen Größen. Meist versteht man unter einer geometrischen Konstruktion die Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal.

Beispiel: Konstruktion eines Dreiecks aus 3 Vorgaben (z.B. 2 Längen, 1 Winkel)

Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal genau konstruiert werden, zum Beispiel die Kegelschnitte (außer dem Kreis) und viele regelmäßige Vielecke. Auch viele trivial erscheinende Aufgaben können nicht nur durch Konstruktion gelöst werden. Die berühmtesten Problemstellungen sind die klassische Probleme der antiken Mathematik:

die Quadratur des Kreises (Konstruktion eines zum einem Kreis flächengleichen Quadrats)
die Drittelung des Winkels
die Erzeugung eines Würfels mit doppeltem Volumen

andere mathematische Konstruktionsarten

In der Mathematik versteht man unter der Konstruktion einer Struktur eine konkrete Darstellung durch (meist einfachere) bereits konstruierte Strukturen, unter anderem durch

mengentheoretische Operationen wie Bildung von kartesischen Produkten (Tupeln) und Äquivalenzklassen,
analytischen Methoden wie Grenzwertübergänge, Vervollständigungenen
algebraische Methoden wie Körpererweiterungen um algebraische oder transzendente Elemente.

Zum Beispiel beginnen die Konstruktionen der Zahlen mit der als gegeben vorausgesetzten Menge N der natürlichen Zahlen (die z.B. innerhalb der Mengenlehre erzeugt oder als "vom lieben Gott gemacht" (Kronecker) angesehen werden). Daraus werden durch Paarbildung und Bildung von Äquivalenzklassen die ganzen Zahlen Z, daraus die rationalen Zahlen, durch Vervollständigung die reellen Zahlen und schließlich durch Erweiterung um die imaginäre Einheit die komplexen Zahlen gebildet.

Die Konstruktion einer Struktur dient unter anderem dem Nachweis ihrer Existenz. Ob bestimmte Operationen für Konstruktionen zugelassen sind, hängt von der jeweiligen Auffassung von Mathematik ab, in der intuitionistischen Mathematik z.B. sind nur finite Methoden erlaubt (Vervollständigungen z.B. sind im allgemeinen nicht finit).

Manche Existenzbeweise mathematischer Objekte werden Konstruktionen genannt, obwohl sie nichtkonstruktiv sind. Zum Beispiel nutzt man das Lemma von Zorn um die Existenz von Basen in Vektorräumen nachzuweisen, für die man keine Basis mit finiten Methoden konstruieren kann. Mit solchen Objekten kann man meist nur theoretisch argumentieren, aber nicht praktisch arbeiten.