Konvergenz (Mathematik)

Unter Konvergenz versteht man in der Mathematik die Existenz eines Grenzwertes. Mathematisch exakter formuliert bedeutet dies:

Table of contents
1 Definition
2 Beispiele
3 Konvergenzkriterien

Definition

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (xi) in X heißt konvergent gegen a wenn gilt:

(Sprich: Es gibt für jedes beliebige (noch so kleine) ε einen Index N, derart, dass für alle n > N (alle weiteren Folgenglieder) gilt d(a, xn) < ε (in den reellen Zahlen also |xn - a| < ε))

a heißt Grenzwert (oder Limes) des Folge und man schreibt.

Wenn die Folge (xi) nicht konvergiert, dann sagt man, sie divergiert. In den reellen Zahlen unterscheidet man dann zwischen bestimmter Divergenz und unbestimmter Divergenz.

Bestimmte Divergenz gegen (bzw. ) liegt vor, wenn die xi jede reelle Zahl irgendwann überschreiten und dann darüber bleiben (bzw. jede Zahl unterschreiten). Man schreibt dann

bzw.
und sagt, die Folge divergiert bestimmt gegen bzw. gegen .

Unbestimmte Divergenz liegt vor, wenn die Folge nicht das eben beschriebene Verhalten hat.

Beispiele

In den reellen Zahlen:

In den rationalen Zahlen sind (1/n) und (c) für eine feste rationale Zahl c konvergent; die Dezimalbruchentwicklung von √2 konvergiert aber nicht, da kein rationaler Grenzwert existiert. Sie ist jedoch eine Cauchy-Folge.

Konvergenzkriterien

Da man häufig die Konvergenz einer unendlichen Reihe nicht direkt mit der obigen Definition zeigen kann, gibt es einige so genannte Konvergenzkriterien.

Siehe auch: