Konvex

Als konvex (lat convex gewölbt, gerundet) bezeichnet man in der Mathematik und der Optik (siehe auch Linse) die Form eines Körpers, dessen Oberfläche nach außen gewölbt ist. Eine nach innen gewölbte Fläche wird als konkav bezeichnet.

Table of contents
1 Geometrie: Konvexe Menge
2 Analysis: Konvexe Funktion

Geometrie: Konvexe Menge

Eine geometrische Figur oder eine Teilmenge eines reellen Vektorraums heißt konvexe Menge, wenn für je zwei darin enthaltene Punkte auch alle Punkte der Verbindungsstrecke dazu gehören. Eine nichtkonvexe Menge heißt konkav.

Die Verbindungsstrecke [a, b] zwischen zwei Punkten a, b ist die Menge aller Konvexkombinationen von a und b, d.h. die Menge aller Linearkombinationen αa + βb, für die 0 &le α, β ≤ 1 und α+β=1 gilt. Formal kann man sie so definieren:

[a, b] := {λ a + (1-λ) b | 0 ≤ λ ≤ 1}

Diese Menge ist genau das, was man anschaulich unter der Strecke von a nach b versteht.

Beispiele

Die meisten in der Schule behandelten geometrischen Figuren sind konvex, z.B. Kreise, Trapeze (insbesondere Rechtecke) und Dreiecke - jeweils als Voll-Figuren aufgefasst, der Rand selbst ist hier jedesmal konkav.

Nicht konvex (also konkav) sind dagegen z.B. der Viertelmond, der Buchstabe T, ein Kreisring oder eine Figur, die aus zwei nebeneinanderliegenden Kreisen besteht.

Im dreidimensionalen Raum sind z.B. Kugeln, Würfel und Spate konvex, ein Torus (Fahrradschlauch) ist dagegen konkav.

Analysis: Konvexe Funktion

In der Analysis heißt eine Funktion f von einem Intervall I (oder einer konvexen Teilmenge eines Vektorraums) nach R konvex, wenn für alle x,y aus I gilt:

Anschaulich bedeutet die Definition: Der Funktionswert in der Mitte zwischen zwei Werten x,y liegt unterhalb der Mitte der Verbindungsgerade der beiden Funktionswerte an x und y.

Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass für alle x, y aus I und t zwischen 0 und 1 gilt:

Eine Funktion heißt streng konvex, wenn für alle x,y aus I gilt:

Eigenschaften

Der Graph einer konvexen Funktion ist so gewölbt, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen eine konvexe Menge ist. Zu beachten ist, dass eine nicht-konvexe Funktion nicht automatisch konkav sein muss, d.h. konvex und konkav sind hier nicht das exakte Gegenteil voneinander. Jede lineare Funktion ist sowohl konkav als auch konvex, und die Sinusfunktion ist keins von beiden (weder die Menge der Punkte oberhalb des Graphen noch die der Punkte unterhalb des Graphen ist eine konvexe Menge).

Jedoch ist eine Funktion f konvex genau dann, wenn die Funktion -f konkav ist. Ist f differenzierbar, dann ist f konvex genau dann, wenn ihre Ableitung wachsend ist und streng konvex genau dann, wenn streng monoton wachsend ist. Ist f zweimal differenzierbar, dann ist f konvex genau dann, wenn nichtnegativ ist, und streng konvex genau dann, wenn positiv ist.

Beispiele