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| Table of contents |
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2 Irrationalität & Transzendenz 3 Näherungen 4 Berechnung 5 Merkregel 6 Offene Fragen 7 Anwendungen 8 Kurioses 9 Weblinks |
Die Zahl π ist keine rationale Zahl. Das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden, etwa als a/b (üblicherweise Bruch genannt). Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom mit ganzzahligen (oder rationalen) Koeffizienten gibt, deren Wurzel (Nullstelle) π ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, π nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken.
Dies wurde von Lindemann 1882 bewiesen.
Eine Folge ist auch, dass die Quadratur des Kreises nur mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.
Da es somit keine einfache Formel für π gibt, müssen wir für diese Zahl Näherungen benutzen. Diese Näherungswerte und -verfahren waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften (Ingenieurbau etc.) sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits soviele Stellen, dass man nicht mehr von praktischen Nutzen sprechen kann.
Ludolph van Ceulen hat 1596 die ersten 35 Dezimalstellen berechnet.
Er war so stolz darauf, dass er das Ergebnis auf seinem Grabstein verewigen ließ.
Wallissches Produkt (1665):
Formeln, die π enthalten:
Formeln der Analysis, die π enthalten:
Formeln der Physik, die π enthalten
Irrationalität & Transzendenz
Näherungen
Leibniz' Formel (1671):
Formel von Srinivasa Ramanujan (1914):
Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass in der Flächenformel des Kreises π enthalten ist und in Bezug zum Quadrat gesetzt werden kann.
Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises : π · r²
Die Formel für den Flächeninhalt des Quadrat : (2r)²
Programm
Immer wieder haben lange Zahlenfolgen zu einfachen Merksätzen geführt, bei denen die Anzahl der Buchstaben jeden Wortes jeweils eine Stelle der Zahl anzeigt:
Der im Deutschen sicherlich bekannteste Merksatz ist folgender:
Die drängendste Frage bezüglich π ist, ob sie eine normale Zahl ist,
ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-adischen) Zahlendarstellung jede mögliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält, so wie dies die Statistik erwarten ließe,
wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde.
Bailey und Crandal haben 2000 gezeigt, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalität von π zur Basis 2 (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.
Für weitere Details dazu siehe die Webseite von Bailey.
Pi spielt in verschiedenen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle - nicht nur innerhalb der Geometrie.
Siehe Algebra, Analysis, Geometrie, Trigonometrische Funktion, Zahlentheorie
Im Jahre 1897 gab es im US Bundesstaat Indiana einen Gesetzentwurf mit dem die Zahl pi per Gesetz nicht nur als 3.2 sondern nebenbei gleichzeitig auch als 4, 3.25 und 3+1/7 definiert werden sollte. Das Gesetz passierte jedoch (nur wegen eines Formalfehlers) nie die zweite Kammer des Parlaments.
Die ersten eine Million Ziffern von π und 1/π sind als Datei beim Projekt Gutenberg erhältlich.
Der derzeitige Rekord der Berechnung von pi wird durch Yasumasa Kanada auf einem HITACHI Supercomputer mit 1,241 Billionen Stellen gehalten.
Der aktuelle Rekord im Auswendiglernen von pi-Nachkommastellen liegt bei 42195. Aufgestellt am 18.02.1995 vom Japaner Hiroyuki Goto.
Den deutschen Rekord hat Ulrich Voigt am 02. Juni 2003 auf 5000 erhöht.
Aus Sternstunden der modernen Mathematik von Keith Devlin:
Berechnung
r = 1000
kreistreffer = 0
quadrattreffer = (2*r)^2
for y = -r to r
for x = -r to r
if wurzel(x^2+y^2) <= r then kreistreffer = kreistreffer + 1
ausgabe (4*kreistreffer/quadrattreffer) { 3.141549 }Die Genauigkeit kann mittels r kontrolliert werden. Mit r = 10 bekommt man 3.17 und mit r = 100 die Zahl 3.1417 usw.
Merkregel
Kürzer ist:
Viele Stellen hinter dem Komma verbirgt diese englische Eloge:
Der folgende französische Merkspruch ehrt ebenfalls den Archimedes, lässt dann allerdings an Klarheit zu wünschen:
Dann lieber gleich plancker Nonsens ?
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