Nach dem Besuch der Realschule begann Bodewig eine Ausbildung zum Kaufmann in der Grundstücks- und Wohnungswirtschaft. Danach besuchte er die Fachoberschule Wirtschaft in Grevenbroich, welche er 1976 mit dem Fachabitur verliess. Bis 1981 war er als Wohnungskaufmann bei der Stadtsparkasse Düsseldorf sowie in Bau- und Wohnungsunternehmen tätig. Nach der Ableistung seines Zivildienstes übernahm er dann 1981 die Leitung der Verwaltungsstelle Zivildienst beim Bezirksverband Niederrhein der AWO. Von 1986 bis 2000 arbeitete er schließlich als Abteilungsleiter beim DGB-Landesbezirk Nordrhein-Westfalen.

Seit 1973 ist Bodewig Mitglied der SPD. Seit 1995 ist er Vorsitzender des SPD-Kreisverbandes Neuss, seit Juni 2000 auch der SPD-Region Niederrhein.

Seit 1998 ist er Mitglied des Deutschen Bundestages. Im März 2000 wurde er zum Parlamentarischen Staatssekretär beim Bundesminister für Verkehr, Bau- und Wohnungswesen ernannt. Nach dem Rücktritt des damaligen Amtsinhabers Reinhard Klimmt wurde er schließlich selbst im Oktober 2000 dessen Nachfolger als Bundesminister für Verkehr, Bau- und Wohnungswesen.

Nach der Bundestagswahl 2002 mußte er das Kabinett verlassen und ist seitdem Stellvertretender Vorsitzender des Bundestags-Ausschusses für die Angelegenheiten der Europäischen Union.

Bodewig ist mit 44,7 % der Stimmen direkt gewählter Abgeordneter des Wahlkreises 109 (Neuss I).

In seine Amtszeit als Bundesminister fällt der umstrittene Vertrag mit Toll Collect zur Einführung einer LKW-Maut in Deutschland. Dieser Vertrag, dessen Text ursprünglich als geheim galt, wurde am 20. September 2002, 2 Tage vor der Bundestagswahl von Kurt Bodewig unterzeichnet. Nach dem Scheitern der Mauteinführung zum 31. August 2003 wurde er im Oktober 2003 teilweise offengelegt. Wie man heute weiß, enthält dieser Vertrag aus Sicht des Bundes außergewöhnlich ungünstige Haftungsbedingungen für die entstandenen Einnahmeausfälle.