Kürzen

Kürzen

Das Kürzen bedeutet in der Mathematik, aus einem Bruch gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner herauszuziehen. Das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben ganzen Zahl nennt man Erweitern. Beim Kürzen und Erweitern mit einer Zahl ungleich 0 bleibt der Wert des Bruches erhalten.

Sind ganze Zahlen, 0, dann gilt

Liest man diese Gleichung von links nach rechts, dann wird der Bruch mit gekürzt, liest man sie von rechts nach links, dann wird der Bruch mit erweitert.

Zum Kürzen ist es hilfreich, Zähler und Nenner des Bruchs in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Gleiche Primfaktoren können dann einfach paarweise in Zähler und Nenner herausgestrichen werden. Es ist bei größeren Zahlen jedoch oft einfacher, den ggT mit dem euklidischen Algorithmus zu bestimmen, denn der ggT ist die größte Zahl, mit der man einen gegebenen Bruch kürzen kann.

Beispiel:

Verallgemeinerung

Geht man von den rationalen Zahlen weg und betrachtet andere Strukturen, dann erkennt man, dass die Möglichkeit, Brüche zu kürzen, eine direkte Konsequenz der Art und Weise ist, wie Brüche definiert werden. Man kann somit z.B. in beliebigen Quotientenkörpern Brüche kürzen. Lokalisiert man einen Ring R mit einer multiplikativen Teilmenge S, dann kann man einen Bruch aus R_S nur mit Elementen von S kürzen und erweitern.