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Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, denn im Gegensatz zur Newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze lassen sich im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch Wahl geeigneter Koordinaten qi (generalisierte Koordinaten) berücksichtigen.
Lagrangesche Bewegungsgleichungen
Mit Hilfe der Variationsrechnung folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip die Bewegungsgleichungen des Lagrange-Formalismus, die (Euler-)Lagrange-Gleichungen:
Die Lagrange-Funktion L ergibt sich dabei zu L=T-V, wobei T die kinetische Energie und V die potenzielle Energie aller Massenpunkte des Systems ist. Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator gilt z.B. und . Damit folgt die Bewegungsgleichung direkt aus der Euler-Lagrange-Gleichung:
Eine Lösung dieser Gleichung ist , wobei . Hier ist x eine generalisierte Koordinate.
Richard Feynman (zusammen mit Hibbs) hat, im Gegensatz zu vielen anderen Physikern, diese Herangehensweise auch für die Herleitung der Gleichungen der Quantenmechanik verwendet. In der klassischen Physik ergeben sich die oben beschriebenen Lagrange Gleichungen aus der Forderung, dass das Wirkungsintegral (bei dem über die Lagrange Funktion integriert wird) extremal wird (durch die Variation des Integrals erhält man die DGL's). Feynman hat einen mathematischen Formalismus entwickelt, in dem der Betrag des Wirkungsintegrals als Maß für die Wahrscheinlichkeit eingeht, dass ein System einen bestimmten zeitlichen Verlauf erfährt (Pfadintegral). Hieraus ergibt sich dann (in einer mathematisch anspruchsvollen Herleitung) z. B. die Schrödingergleichung. In dieser Theorie bilden klassische Systeme den Grenzfall, bei dem außer der Systemtrajektorie, die sich aus den Lagrange Gleichung ergibt, alle anderen Trajektorien eine verschwindend geringe Wahrscheinlichkeit haben (s. Quantum Mechanics and Path Integrals, McGRAW-HILL Book Company, 1965).
Siehe auch: Hamilton-Formalismus