Der Laplace-Operator oder \Deltaoperator Δ ist in der mehrdimensionalen Analysis und der Vektorrechnung ein Differentialoperator, der die Summe der reinen zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion von mehreren Variablen ermittelt. Er erscheint beispielsweise in vielen Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen.
Für den Fall von n Variablen ist er definiert als
Dabei ist der Nabla-Operator. Angewendet auf eine Funktion φ ist auch die Schreibweise
möglich. Bezüglich div und grad siehe Divergenz und Gradient. Für eine Funktion φ(x,y) von zwei Variablen ergibt sich
und im dreidimensionalen analog
Für eine Funktion in einer Variablen ergibt die Anwendung des Laplace-Operators die zweite Ableitung.
Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der Laplace-Gleichung
auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen.
Da die Hesse-Matrix die Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen ist, ist der Laplace-Operator gerade die Spur der Hesse-Matrix.
Siehe auch: Gradient, Divergenz, Rotation.
