Biró wurde als Sohn gut situierter Eltern geboren. Sein Vater, der Zahnarzt Mátyás Biró, betätigte sich bereits als Erfinder und versuchte stetig das medizinische Gerät seiner Praxis zu verbessern. Biró sollte die Praxis erben, brach aber das Medizinstudium ab.

Nach diversen Interessen und Tätigkeiten, unter anderem als Versicherungsmakler und Rennfahrer, entwickelte er 1932 mit einem Freund ein Automatikgetriebe für Personenkraftwagen. Das Patent wurde ihm von General Motors abgekauft damit Konkurrenten dieses nicht verwerten konnten.

Das Interesse an Kunst und Journalismus brachte ihm die Stelle als Chefredakteur der Zeitschrift "Hongrie-Magyarország-Hungary" ein, wo er Ungarns Kunst im Ausland bekannt machen sollte. Nach einem Wechsel zur Zeitung "Elõre" kam ihm in der Druckerei die Idee zu einem Stift, der in ähnlicher Form wir Druckwalzen die Tinte zu Papier bringt.

Mit seinem Bruder György und einem anderen Erfinder Andor Goy arbeitete er die Idee aus und erhielt schließlich am 25. April 1938 das Patent.

Biró war inzwischen mit einer Jüdin verheiratet und hatte eine Tochter. Da Ungarn Verbündeter Deutschlands war und dort ebenfalls eine Nationalsozialistische Partei (Magyar Nemzeti Függetlenek Pártja) an der Regierung war verschärften sich die Lebensbedingungen zunehmend. Am 31. Dezember 1938 einen Tag vor Inkrafttreten eines neuen Gesetzes, das es untersagte Patente ins Ausland mitzunehmen, verließ er daher mit seiner Familie Ungarn nach Frankreich.

Dort setzte er die Arbeiten an seinem Kugelschreiber in Paris fort. Nach dem Einmarsch der deutschen Truppen 1940 flieht er mit seiner Familie nach Argentinien. Durch einen glücklichen Zufall hatte er 1938 den damaligen argentinischen Präsidenten Augustin Pedro Justo in Jugoslawien kennen gelernt.

In Argentinien entwickelte Biró den Kugelschreiber weiter und erhielt am 10. Juni 1943 ein neues Patent. Er wurde Direktor der größten Kugelschreiberfabrik Argentiniens "Sylvapen".

Doch seinen Drang zum Erfinden hatte er nach wie vor. Er entwickelte einen Behälter für Parfüm nach dem Kugelschreiberprinzip, quasi den ersten Deo-Roller. Die Verbreitung schlug allerdings zunächst fehl. Er erfand ein Fieberthermometer und ein Blutdruckmessgeräte für das Handgelenk. Außerdem erfand er einen Kunststoff als Ersatz für Naturharz.