Seien V und W Vektorräume über den Körper K. Eine Abbildung f: V -> W heißt lineare Abbildung, wenn für alle x,y ∈ V und a ∈ K gilt:

• a·f(x) = f(a·x)
• f(x+y) = f(x) + f(y)

Ebenso kann jede n×n Matrix A über dem Körper K bei Wahl zweier Basen B₁ und B₂ als lineare Abbildung von V nach V angesehen werden, indem für den Vektor v sein Koordinatenvektor bzgl. B₁ mit der Matrix von links multipliziert wird und der Bildvektor als Koordinatenvektor bzgl. B₂ aufgefasst wird. Hat die Matrix dabei vollen Rang, also eine Determinante ungleich 0, so ist diese lineare Abbildung sogar ein Automorphismus auf V.

Gerade daher sind lineare Abbildungen in der Theorie der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen so wichtig. Ein homogenes Gleichungssystem (also eins, wo die "rechte Seite" immer 0 ist) aus n Gleichungen und n Unbekannten kann als Lineare Abbildung aufgefasst werden, indem man die Koeffizienten der Unbekannten in einer Matrix schreibt, und mit dem (x, y, z, ...) Vektor der Unbekannten multipliziert und als Ergebnis die rechte Seite der Gleichungssysteme wählt. Beispiel:

x + 2y + 3z = 0
5x - 3y + 8z = 0
3x - 2y - z = 0

Sei A die Matrix |1 2 3|
|5 -3 8|
|3 -2 -1|

0 sei der Vektor [0, 0, 0] und v = [x, y, z].

Man kann sehen, dass gilt: A*v = b und so wieder die Abhängigkeiten wie in den Gleichungssystemen wie oben gelten (einfach mal A*v ausmultiplizieren).

Und hier kommt die Eigenschaft der linearen Abbildungen ins Spiel:

Der Lösungsraum für A*v = 0 ist damit der Kern der Abbildung (wichtig!).

Wie im Artikel Homomorphismus steht, ist der Kern einer Abbildung genau dann trivial, wenn die Abbildung injektiv ist.

Injektiv bedeutet, dass die rechte Seite nur einmal "getroffen" wird. Also gibt es nur eine einzige Möglichkeit für v, um die rechte Seite zu treffen, nämlich die "triviale" (der Nullvektor). Wenn man also weiß, dass die Abbildung injektiv ist, dann weiß man direkt, das obiges Gleichungssystem nur eine Lösung hat, nämlich x=0,y=0,z=0. (Dieses geht natürlich auch für mehr Variablen und Gleichungen).

Nun kann man feststellen, ob eine Abbildung injektiv ist, indem man die Determinante der Matrix betrachtet. Denn die Abbildung ist injektiv, genau dann wenn die Determinante ungleich 0 ist. Und das ist schnell auszurechnen.

Wenn hingegen die Determinante gleich 0 ist, dann muss man hingehen, und den Rang der Matrix betrachten. Der Rang einer Matrix ist die Dimension des Spalten- bzw. Zeilenraums der Matrix (diese sind gleich). Man kann ihn ausrechnen, indem man die Matrix durch Gausumformungen in eine obere Dreiecksmatrix umformt und die Anzahl der "0"-Zeilen von n abzieht.

Sei m := n - rang(A). Der Kern der Abbildung hat dann genau die Dimension m. Der Lösungsraum der Matrix hat also die Dimension m. In der Schulmathematik spricht man hier von "unendlich vielen" Lösungen, da man als Körper nur den Körper der reellen Zahlen betrachtet, aber dort kennt man auch keine endlichen Körper.

Im Fall, dass auf der rechten Seite der Gleichungen des Gleichungssystem nicht der Nullvektor steht (ein so genanntes inhomogenes Gleichungssystem), dann ist der Lösungsraum für diese Gleichungen um eine spezielle Lösung für diese Gleichungen im Vergleich zu dem homogenen Gleichungssystem mit diesen Koeffizienten verschoben, wie man sagt -- der Lösungsraum ist also verschoben.