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Gleichungen werden durch Äquivalenzumformungen gelöst.
D.h. es sind eine Reihe von Aktionen erlaubt, vorausgesetzt, sie werden auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens gleich ausgeführt:
Lineare Gleichungen werden gemäß obigen Grundregeln so lange behandelt, bis auf der linken Seite die Unbekannte steht und rechts eine Zahl bzw. ein entsprechender Ausdruck.
Lineare Gleichungen der Normalform
Eine Gleichung kann aber auch unlösbar sein. So gibt es keine Zahl, die die Gleichung x = x + 1 löst, weil es keine Zahl gibt, die gleich groß wie ihr Nachfolger ist. Formal entstünde durch beidseitige Subtraktion von x die falsche Aussage 0 = 1.
Verhältnisgleichungen wie etwa 1÷x = 2÷5 lassen sich durch Kehrwertbildung in eine lineare Gleichung überführen.
Das Lösen von Quadratischen Gleichungen ist ausführlich unter Quadratische Ergänzung beschrieben und geht in der Normalform auch mit der pq-Formel.
Quadratische Gleichungen in der Normalform
Auch hier gibt es Gleichungen, die zunächst ein x² enthalten, dieser Term aber beim Umformen verschwindet, so dass u.U. eine falsche Aussage stehen bleibt. Solche Gleichungen sind unlösbar.
Auch für das Lösen von kubischen Gleichungen gibt es eine formale Lösung, die in der Fachliteratur (z.B. Bronstein:Taschenbuch der Mathematik) nachzulesen ist. Sie kommt allerdings nicht mehr ohne Komplexe Zahlen aus.
Kubische Gleichungen in der Normalform
(Die Lösungsformel sollte im Artikel kubische Gleichung gegeben werden, siehe Weblink.)
Weblink: Lösungsformel für kubische Gleichungen
Auch für biquadratische Gleichungen lässt sich noch eine Lösungsformel angeben. Aufgrund der Kompliziertheit der Formel empfiehlt sich im Alltag jedoch eine numerische Lösung.
Eine allgemeine Lösungsformel für Gleichungen höheren Grades gibt es nicht (ein Resultat der Galoistheorie).
Gleichungen höheren Grades werden in der Regel nur numerisch gelöst, es sei denn, eine Lösung lässt sich erraten. Hat man eine Lösung gefunden, lässt sich der Grad der Gleichung durch Polynomdivision um 1 verringern.
Gleichungen vom Grad n haben n Lösungen (Fundamentalsatz der Algebra). Sie sind in der Regel nicht alle reell.
Tritt die Variable x unter einer Wurzel auf, spricht man von einer Wurzelgleichung. Solche Gleichungen löst man, indem man eine Wurzel isoliert (allein auf eine Seite bringt) und dann mit dem Wurzelexponenten potenziert.
Das wiederholt man, bis alle Wurzeln eliminiert sind. Die entstehende Gleichung löst man wie oben. Schließlich muss man noch beachten, dass durch das Potenzieren Scheinlösungen hinzugekommen sind, die nicht Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind. Deshalb ist hier eine Probe unverzichtbar.
Ein einfaches numerisches Verfahren zur Lösung reeller Gleichungen ist die Intervallschachtelung. Ein Spezialfall davon ist die Regula falsi.
Bedingt einsetzbar, dafür schneller ist das Newtonsche Näherungsverfahren.
Graphische Verfahren können im Rahmen der Zeichengenauigkeit Anhaltspunkte über Anzahl und Lage der Lösungen geben.
Grundregeln
Eingeschränkt möglich sind darüber hinaus:
Zum Beispiel ist die Gleichung x = -1 nicht äquivalent zur Gleichung x² = (-1)², denn die letztere Gleichung hat auch x = 1 als Lösung.
Zum Beispiel ist die Gleichung x² = a mit einem Ausdruck a äquivalent zum System (x = √a oder x = -√a).
Polynomgleichungen
Gleichungen vom Grad 1
haben stets genau eine Lösung. Sie lautet -b/a.Gleichungen vom Grad 2
haben stets zwei Lösungen, die aber nicht immer reell sind. Daher lernen Schüler, dass es auch Quadratische Gleichungen "ohne Lösung" geben kann.Gleichungen vom Grad 3
haben stets drei Lösungen, die aber nicht immer reell sind.Gleichungen höheren Grades
Wurzelgleichungen
Numerisches Lösen
Graphische Verfahren
{|\n|
Liegt die Gleichung in ihrer Normalform vor, lässt sich die linke Seite als Funktion auffassen, deren Graph nach einer Wertetafel mit hinreichender Genauigkeit zu zeichnen ist. Die Nullstellen (d. h. Schnittpunkte mit der x-Achse) sind dann die Lösungen.
Andernfalls sind die Funktionen, die der rechten und der linken Seite der Gleichung entsprechen, zusammen in ein Achsenkreuz zu zeichnen. Die x-Werte der Schnittpunkte geben die Lösung an. Quadratische Gleichungen werden so umgeformt, dass der quadratische Term nur links vom Gleichheitszeichen und mit dem Vorfaktor 1 zu stehen kommt.
Dann kann man mittels Schablone die Einheitsparabel zeichnen und mit der aus der rechten Seite hervorgehenden Geraden zum Schnitt bringen. Dies ist rechts exemplarisch für die Gleichung x² = 0,5x + 0,5 gezeigt, deren Lösungen -0,5 und +1 sind.
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|}
Siehe auch: Gleichung - Lösen von Ungleichungen