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In der Wahrscheinlichkeitstheorie, gibt die Markov-Ungleichung eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass eine nicht-negative Funktion einer Zufallsvariable größer oder gleich einer positiven Konstante ist. Sie ist nach dem russischen Mathematiker Andrey Markov benannt.
Die Markov-Ungleichung (und andere ähnliche Ungleichungen) vergleichen Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte und geben (meist) schwache, aber nützliche Grenzen für die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable an.
| Table of contents |
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2 Verallgemeinerung |
Die Markov-Ungleichung sagt aus: Ist X eine Zufallsvariable und a eine positive Konstante, dann gilt:
Sei X eine Zufallsvariable und a eine positive Konstante. Wenn
Sei A die Menge {x: h(x) ≥ a}, und IA(x) die
charakteristische Funktion von A. (D.h. IA(x) = 1 wenn x aus A, und 0 sonst). Dann gilt:
Definition
Verallgemeinerung
so gilt
Beweis
Der Satz folgt, wenn man auf beiden Seiten den Erwartungswert nimmt und
berücksichtigt.Beispiele