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Wenn die Matrix m Zeilen und n Spalten besitzt, spricht man von einer m × n-Matrix, und nennt m und n die Dimensionen der Matrix. Ist m = n spricht man von einer n × n oder quadratischen Matrix. Die Komponente, die in der i-ten Zeile an j-ter Stelle steht, hat die Indices i,j. Eine allgemeine 2 × 3 Matrix A sieht zum Beispiel so aus:
Hat eine Matrix nur eine einzige Spalte oder Zeile, dann nennt man sie Vektor. Man unterscheidet dabei zwischen einem Zeilenvektor (mit nur einer Zeile) oder einem Spaltenvektor (mit nur einer Spalte). Oft benötigt man diese Unterscheidung nicht (wenn man sie nicht mit Matrizen multiplizieren muss) und bezeichnet die Menge aller n-stelligen Vektoren über einer Menge K mit Kn statt K1×n oder Kn×1.
Im Zusammenhang mit Matrizen oft auftretenden Begriffe sind der Rang und die Determinante einer Matrix.
"Kippt" man die Matrix A an der Hauptdiagonalen (die von links oben nach rechts unten geht, ihre Komponenten sind aii), dann erhält man die zu A transponierte Matrix AT.
Zwei Matrizen A und B gleicher Dimension mit Komponenten in einer Zahlenmenge (z.B. den reellen Zahlen) kann man komponentenweise addieren. Stimmt dagegen die Zeilenanzahl von A mit der Spaltenanzahl von B überein, dann kann man das Matrixprodukt A*B berechnen. Siehe dazu die folgenden Beispiele.
Zwei Matrizen A und B werden addiert, indem man die in den Matrizen an entsprechender Stelle stehenden Komponenten addiert:
Eine Matrix oder ein Vektor A wird mit einer Zahl r vervielfacht (multipliziert), indem man jede Komponente von A mit r multipliziert:
Zwei Matrizen A und B werden miteinander multipliziert, indem jeweils die Zeilenelemente der ersten Matrix mit den entsprechenden Spaltenelementen der zweiten Matrix multipliziert werden. Die Multiplikation von Matrizen ist nur dann möglich, wenn die Länge der Zeilen (= die Anzahl der Spalten) der ersten Matrix mit der Länge der Spalten (= Anzahl der Zeilen) der zweiten Matrix übereinstimmt. Ist A eine l×m-Matrix und B eine m×n-Matrix, so ist das Produkt eine l×n-Matrix:
Formal definiert ist die Matrixmultiplikation für Matrizen A = (aij) und B = (bij) der Formate l×m und m×n als die Matrix C = (cij) mit den Komponenten
Die Transponierte der Matrix A = (aij) vom Format m×n ist die Matrix AT = (aji) vom Format n×m.
Ist (R,+,*,0) ein Ring, dann bildet die Menge Rn×n der quadratischen Matrizen vom Format n×n ebenfalls einen Ring mit der oben definierten Matrixaddition und -multiplikation. Das Nullelement ist die Nullmatrix 0, deren Komponenten alle 0 sind. Hat R ein Einselement 1, dann ist die Einheitsmatrix E das Einselement des Matrixrings. Sie hat auf der Hauptdiagonalen 1 und sonst 0.
Ist K ein Körper, dann sind im Ring Kn×n genau diejenigen Matrizen invertierbar, deren Determinante ungleich 0 ist. Man kann die zur Matrix A inverse Matrix A-1 zum Beispiel mit dem Gauss-Algorithmus bestimmen. Dazu löst man das lineare Gleichungssystem A*X = E. Die Matrix E ist die Einheitsmatrix, die Matrix X ist dann das Inverse von A.
Hat man zwei Spaltenvektoren v und w der Länge n, dann ist das Matrixprodukt v*w nicht definiert, aber die beiden Produkte vT*w und v*wT existieren.
Das erste Produkt ist eine 1×1-Matrix, die als Zahl interpretiert wird, sie wird das kanonische Skalarprodukt von v und w genannt und mit <v,w> bezeichnet.
Man kann auch Matrizen mit unendlich vielen Spalten oder Zeilen betrachten. Diese kann man immer noch addieren. Um sie jedoch multiplizieren zu können, muss man zusätzliche Bedingungen an ihre Komponenten stellen (da die auftretenden Summen unendliche Reihen sind und nicht konvergieren müssten).
Lässt man mehr als zwei Indices zu, erhält man Strukturen, die man sich als drei- oder höherdimensionale Tabellen denken kann. Diese Strukturen sind spezielle Tensoren.
Rechnen mit Matrizen
Addieren von Matizen
Genauso werden auch Vektoren addiert.Vervielfachen von Matrizen (Skalarmultiplikation)
Diese Rechenoperation nennt man Skalarmultiplikation, das Ergebnis ist ein skalares Produkt, es ist zu unterscheiden vom Skalarprodukt zweier Vektoren.Multiplizieren von Matrizen
Dabei können A und B auch Vektoren sein, solange die Formate passen (siehe dazu auch den Abschnitt Vektor-Vektor-Produkte).Die transponierte Matrix
Die inverse Matrix
Es entsteht ein LGS mit 9 Unbekannten und 9 Gleichungen:
Bei näherer Betrachtung stellt man aber sehr schnell fest, dass man dieses
Gleichungssystem auch als drei getrennte Gleichungssysteme mit je drei Gleichungen und Unbekannte zerlegen kann:
Ab hier lässt dich dann das Ergebnis durch dreimaliges Anwenden des Gauss-Algorithmusses berechnen. Das Ergebnis sollte lauten:Vektor-Vektor-Produkte (Skalarprodukt)
Das zweite Produkt ist eine n×n-Matrix und heißt das dyadische Produkt von v und w.Verallgemeinerungen