Metrischer Raum

Metrischer Raum

Ein metrischer Raum ist in der Mathematik ein Raum (d.h. eine Menge), zwischen dessen Elementen durch eine Funktion paarweise Abstände definiert sind. Diese Funktion wird als Metrik des Raumes bezeichnet (in der Differentialgeometrie und in der Physik spricht man oft auch von einer Metrik, meint aber damit eine (Semi-) Riemannsche Metrik). Ein metrischer Raum ist ein Spezialfall eines topologischen Raumes.

Table of contents

1 Geschichte
2 Metrik und metrischer Raum

2.1 Definition
2.2 Satz
2.3 Erläuterung

3 Beispiele
4 Eigenschaften
5 Isometrien

Geschichte

Metrische Räume wurden in der Arbeit Sur quelques points du calcul fonctionnel (1906) von Maurice Fréchet erstmals verwendet.

Metrik und metrischer Raum

Definition

Sei X eine beliebige Menge (sie wird hier Grundraum genannt). Eine Abbildung heißt Metrik, wenn für alle beliebigen Elemente x, y und z von X folgende Bedingungen erfüllt sind:

(i)
(ii) (Symmetrie)
(iii) (Dreiecksungleichung)

Das Paar nennt man dann einen metrischen Raum.

Satz

Ist ein metrischer Raum, dann gilt für alle x und y aus X:

(iv) (Positivität)

Die Bedingungen (i) und (iv) zusammen drücken aus, dass d positiv definit ist.

Erläuterung

Ein metrischer Raum ist eine beliebige Menge, nennen wir sie X, die mit einer Abstandsfunktion (Metrik) versehen ist. Die Metrik ordnet je zwei Elementen der Menge ihren Abstand zu. (i) bis (iv) drücken grundlegende Eigenschaften des Abstandsbegriffs aus:

Der Abstand eines Punktes zu sich selbst ist 0.
der Abstand von x zu y ist gleich dem "Rückweg-Abstand" von y zu x.
der direkte Weg (Abstand) zweier Punkte x und y ist die kürzeste Verbindung. Ein Umweg über z muss größer oder zumindest gleich dem direkten Weg sein. (siehe auch Euklidische Geometrie).
Abstände zwischen verschiedenen Punkten sind positiv.

Beispiele

Auf jeder Menge lässt sich eine triviale Metrik definieren durch

d(x,x) = 0
d(x,y) = 1 für x ≠ y

Die reellen Zahlen mit der Abstandsfunktion d(x, y) = |x-y| (s. absoluter Betrag) und jeder euklidische Raum sind vollständige metrische Räume.

Jeder normierte Vektorraum ist ein metrischer Raum mit der Metrik d(x, y) = ||x - y||.

Der Artikel Metriken im Vektorraum enthält eine Reihe von weiteren Metriken.

Eigenschaften

Metrische Räume sind Spezialfälle der topologischen Räume, das heißt eine Metrik induziert eindeutig eine Topologie auf der Menge X (siehe Umgebung). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.

Ein topologischer Raum heißt metrisierbar, wenn eine Metrik existiert, die mit der gegebenen Topologie verträglich ist (von der Metrik induziert wird).

Spezielle Metriken werden erzeugt von Beträgen auf Körpern (siehe z.B. p-adische Zahlen) und von Normen auf Vektorräumen.

Ein metrischer Raum, in dem jede Cauchyfolge konvergiert, heißt vollständig.

Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum.

Isometrien

Sind zwei metrische Räume (M₁, d₁), (M₂, d₂) gegeben, und f: M₁ -> M₂ eine Abbildung mit der Eigenschaft

d₂(f(x), f(y)) = d₁(x, y) für alle x, y aus M₁,

dann heißt f eine Isometrie von M₁ nach M₂. Eine solche Abbildung ist stets injektiv. Ist f sogar bijektiv, dann heißt f ein isometrischer Isomorphismus, und die Räume M₁ und M₂ heißen isometrisch isomorph.

Jeder metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines normierten Vektorraums, und jeder vollständige metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachraums.

Der englische Artikel enthält noch weitere Themen (Ultrametrik, Pseudometrik, komplexere Beispiele, Definitionen von offenen und abgeschlossenen Kugeln und Mengen, beschränkte Mengen, Abstand Punkt zu Menge), die entweder in diesen Artikel integriert oder als eigene Artikel verlinkt werden sollten.