Man erhält dann folgende Iterationsgleichung:

Table of contents

1 Anfangsbedingungen 2 Konvergenz 3 Geometrische Deutung 3.1 Bemerkungen 4 Abbruchkriterien 5 Anwendungen 5.2 Berechnung der Quadratwurzel 5.3 Schnittpunkt zweier Funktionen 6 Weblinks

Anfangsbedingungen

Es muss anfänglich ein Näherungswert x₀ bekannt sein. Die Funktion f(x) muß in jedem Punkt der Ausgangsmenge differenzierbar sein. Das heißt für f(x) muß dort die Ableitung f'(x) existieren. Weiterhin muß gelten, dass f'(x) stetig invertierbar ist. Das heißt die Funktion von x₀ darf bis zur anzunähernden Nullstelle keine Extrema oder Sattelpunkte besitzen, da dort die Ableitung f'(x) gegen 0 ginge.

Diese Voraussetzung:

Sei differenzierbar mit

ist zum Beispiel erfüllt, wenn f streng monoton steigend.

Konvergenz

Das Problem beim Newton Verfahren ist, dass es möglicherweise nicht konvergiert. Bei geeigneter Wahl der Startwerte x₀ kann das Newtonsche Verfahren mit quadratischer Konvergenz also mit der Konvergenzordnung 2 konvergieren. Wird das Newtonverfahren beispielsweise zyklisch, tritt keine Konvergenz ein.

Geometrische Deutung

lässt sich geometrisch als die Nullstelle der Tangente durch den Punkt P(; f()) deuten:

Bemerkungen

• Schon bei Polynomen gibt es schon oft mehr als eine Nullstelle von f
  

• Der Konvergenzbeweis wird anders geführt

• Das Verfahren verbessert nur eine Nullstellen Näherung, wenn es konvergiert.

Abbruchkriterien

Mögliche Abbruchkriterien bezüglich einer Restgröße (zum Beispiel Rechner-Arithmetik) sind:

In beiden Fällen kann es vorkommen, dass das Abbruchkriterium zu einem "schlechten" Zeitpunkt erfüllt ist.

Anwendungen

Berechnung der Quadratwurzel

Ein Spezialfall des Newtonschen Näherungsverfahrens ist das Babylonische Wurzelziehen, auch bekannt als Heronverfahren:

Wendet man die Iterationsformel auf die Funktion

Diese Verfahren konvergiert für jeden beliebigen Anfangswert x₀.

Schnittpunkt zweier Funktionen

Auf ähnliche Weise lässt sich auch der x-Wert des Schnittpunktes zweier Funktionen g(x) und f(x) bestimmen:

Da man die beiden Funktionen zur Lösung des Problems gleichsetzt, lässt sich immer durch Umformung folgende Form, auf die das Newtonsche Näherungsverfahren angewendet werden kann, bestimmen:

Weblinks

• Facharbeit über das Newtonsche Näherungsverfahren und die Regula Falsi