Eine Norm ist in der Mathematik eine Funktion, die die "Länge" von Vektoren angibt. Man kann den Begriff auch auf Matrizen erweitern.

In endlichdimensionalen Vektorräumen, z.B. V = Rⁿ, wird die Norm ||x|| des Vektors x als der Abstand von x zum Nullvektor interpretiert, den Abstand zweier Vektoren x und y kann man als Norm ihres Differenzvektors angeben,

d(x,y) = ||x- y||.

Table of contents

1 Definition 2 Vektornormen 2.1 p-Normen 2.2 lp-Normen 2.3 Lp-Normen 3 Matrixnormen

Definition

Sei V ein Vektorraum über dem Körper R oder C. K bezeichne diesen Körper. Eine Funktion ||·||: V -> R mit folgenden Eigenschaften für alle Vektoren x,y aus V und Skalare α aus K heißt Norm auf V:

• ||x|| ≥ 0 (Positivität)
• ||x|| = 0 <=> x = 0. (Definitheit)
• ||α·x|| = |α|·||x|| (Homogenität)
• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (die Dreiecksungleichung)

Ein normierter Vektorraum ist mit der oben angegebenen Metrik ein metrischer Raum, und auch ein topologischer Raum. Die Norm bestimmt dabei die topologische bzw. geometrische Struktur des Raumes.

p-Normen

Für endlichdimensionale Räume sind die so genannten p-Normen definiert als:

• ||(x,y)||₁ = |x| + |y|
• ||(x,y)||₂ = √(x² + y²)
• ||(x,y)||_∞ = max{|x|,|y|}

p = 1

p = 2

p = ∞

Nur für p=2 entspricht das Bild des Kreises dem, was man sich im gewöhnlichen Sprachgebrauch unter einem Kreis vorstellt. In diesem gilt die allgemeine Kreisgleichung x² + y² = r². Die von ||·||₂ definierte Metrik d₂ entspricht dem Abstand zweier Punkte in der Euklidischen Ebene. Die 2-Norm wird deshalb auch Euklidische Norm genannt und ein Vektorraum mit der 2-Norm heißt Euklidischer Raum.

l_p-Normen

Die "l_p-Normen" sind eine Verallgemeinerung der p-Normen auf spezielle unendlichdimensionale Vektorräume.

Betrachte die Menge R^N aller reellen Zahlenfolgen. Für eine reelle Zahl p ≥ 1 bzw. das Symbol p = ∞ betrachten wir die Teilmenge

L_p-Normen

Die Definition der L_p-Räume und -Normen wird hier nur kurz angerissen, ausführlichere Informationen dazu im Artikel Lp-Raum.

Analog zu den Folgenräumen kann man den Vektorraum der Funktionen von R nach R betrachten, und darin die "in p-ter Potenz integrierbaren Funktionen" herausgreifen, für die man so genannte L_p-Normen definiert. Das ist jedoch erstmal nur eine Pseudonorm, da ||f|| = 0 nicht ausschließlich für die Nullfunktion gilt. Man geht deshalb über zu einem Faktorraum (den man L_p nennt), auf dem die L_p-Norm dann eine Norm ist.

Matrixnormen

Für reelle oder komplexe Matrizen definiert man die folgenden Normen, die vor allem in der Numerik nützlich sind.