Die Oktaven auch Oktonionen oder Cayleyzahlen sind eine Verallgemeinerung der Quaternionen und besitzen das Mengensymbol O.
Jede Oktave kann dargestellt werden ...
- ... als 8er-Tupel von reellen Zahlen: ( r1 , r2 , ... , r8 )
- ... als 4er-Tupel von komplexen Zahlen: ( c1 , c2 , c3 , c4 )
- ... als geordnetes Paar von Quaternionen: ( h1 , h2 )
Der Körper der reelen Zahlen R kann als Unterstruktur von O betrachtet werden:
- Für alle Zahlen r aus R gilt: r entspricht ( r , 0 , ... , 0 )
Der Körper der komplexen Zahlen C kann als Unterstruktur von O betrachtet werden:
- Für alle Zahlen c aus C gilt: c entspricht ( c , 0 , 0 , 0 )
Der Schiefkörper der Quaternionen H kann als Unterstruktur von O betrachtet werden:
- Für alle Zahlen h aus H gilt: h entspricht ( h , 0 )
Für die Oktaven sind Addition und Multiplikation so definiert, dass sie abwärtskompatibel sind, d.h. ...
- ... für alle reellen Zahlen r und s gilt:
- r + s = ( r , 0 , ... , 0 ) + ( s , 0 , ... , 0 )
- r * s = ( r , 0 , ... , 0 ) * ( s , 0 , ... , 0 )
- ... für alle komplexen Zahlen c und d gilt:
- c + d = ( c , 0 , 0 , 0 ) + ( d , 0 , 0 , 0 )
- c * d = ( c , 0 , 0 , 0 ) * ( d , 0 , 0 , 0 )
- ... für alle Quaternionen h und i gilt:
- h + i = ( h , 0 ) + ( i , 0 )
- h * i = ( h , 0 ) * ( i , 0 )
Die Oktaven bilden mit der definierten Addition und Multiplikation eine Divisionsalgebra, jedoch keinen Schiefkörper (und damit auch keinen Körper).
Die beiden folgenden Regeln sind daher für Oktaven NICHT allgemeingültig:
- Kommutativgesetz der Multiplikation: o * p = p * o
- Assoziativgesetz der Multiplikation: o * ( p * q ) = ( o * p ) * q
Es gilt jedoch für alle Oktaven o und p das schwache Assoziativgesetz:
- o * ( o * p ) = ( o * o ) * p und o * ( p * p ) = ( o * p ) * P
