Operation (Mathematik)

Operation (Mathematik)

In der Mathematik tritt der Begriff der Operation bei der Betrachtung von Gruppen und ihrem Zusammenspiel mit anderen Strukturen auf.

Table of contents

1 Definition
2 Beispiele

2.1 Linkstranslation
2.2 Konjugation
2.3 Automorphismengruppe einer Körpererweiterung
2.4 Andere Beispiele

3 Eigenschaften
4 > s^-1*t.x = x

Definition

Man sagt, eine Gruppe (G, *, e) operiert auf einer Menge M, wenn es eine Funktion "." von G × M nach M gibt mit den Eigenschaften:

e.x = x für alle x aus M,
(s*t).x = s.(t.x) für alle s, t aus G und x aus M.

Operiert G auf M, dann gibt es einen Homomorphismus T von G in die symmetrische Gruppe S(M) von M, dabei ist T gegeben durch T(s)(x) = s.x.

Operiert G auf M, dann nennt man für ein x aus M die Teilmenge G.x von M, gegeben durch

G.x = {s.x | s in G}

die Bahn von x (bezüglich der gegebenen Operation). Man nennt die Untergruppe G_x von G, gegeben durch

G_x = {s in G | s.x = x}

den Stabilisator (oder die Fixgruppe) von x (bezüglich der gegebenen Operation).

Man nennt die Mächtigkeit |G.x| der Bahn von x die Länge der Bahn von x.

Besteht M nur aus einer einzigen Bahn, d.h. ist G.x = M für jedes x, dann heißt die Operation transitiv. Dies ist genau dann der Fall, wenn zu jedem Paar x, y aus M ein s in G existiert, so dass s.x = y ist.

Beispiele

Linkstranslation

(Einiges davon könnte z.B. in einen Artikel Faktorgruppe.)

Ein Beispiel einer Operation ist die Linkstranslation (Linksmultiplikation) innerhalb einer Gruppe (G, *, e). Definiert man s.t := l_s(t) := s*t, dann operiert G auf sich selbst, denn es ist e.s = e*s = s und (s*t).x = (s*t)*x = s*(t*x) = s.(t.x).

T ist die Abbildung, die jedem Element s die Linkstranslation mit s, l_s: G -> G, zuordnet. Diese Zuordnung T ist injektiv, man erhält hieraus den

Satz von Cayley: Jede endliche Gruppe der Ordnung n ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_n.

Analoges gilt auch für die Rechtstranslation s.x := x*s.

Betrachtet man eine Untergruppe H von G, dann operiert auch H durch die Linkstranslation auf G. Die Bahn Hs:=H.x eines Elements s von G heißt Rechtsnebenklasse von s. Die Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit

H\\G,

ihre Mächtigkeit mit

G : H := |H\\G|.

Da die Linkstranslation eine Bijektion ist, gilt |Hs| = |H| für jedes s aus G. Daraus folgt mit der Bahnengleichung (s.u.) der

Satz von Euler-Lagrange: Für jede Untergruppe H einer endlichen Gruppe G gilt

|G| = (G : H) * |H|.

Insbesondere ist die Ordung von H ein Teiler der Ordung von G.

Betrachtet man stattdessen die Rechtstranslation von H auf G, dann nennt man die Bahn sH:=H.x von s seine Linksnebenklasse. Man beachte, dass im allgemeinen nicht sH = Hs sein muss. Die Menge aller Linksnebenklassen bezeichnet man mit G/H. Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also

G : H = |G/H|.

Eine Untergruppe H von G heißt Normalteiler, wenn sH = Hs für alle s aus G gilt. Ist H ein Normalteiler von G, dann wird durch

sH*tH := (s*t)H

eine wohldefinierte Verknüpfung von G/H definiert, mit der G/H eine Gruppe ist, man nennt sie die Faktorgruppe G modulo H.

Konjugation

Eine Gruppe G operiert auf sich durch die Konjugation s.t := f_s(t) := s^-1*t*s. Die Automorphismen f_s(t) = s^-1*t*s heißen innere Automorphismen, die Menge aller inneren Automorphismen bezeichnet man mit Inn(G).

Automorphismengruppe einer Körpererweiterung

Ist L/K eine Körpererweiterung, dann bezeichnet man mit Aut(L/K) die Gruppe aller Automorphismen von L, die K punktweise fest lassen. Diese Gruppe operiert auf L durch f.x := f(x). Jede Bahn besteht aus den in L liegenden Nullstellen eines Polynoms mit Koeffizienten in K, das über K irreduzibel ist. Elemente derselben Bahn nennt man hier konjugiert über K, sie haben dasselbe Minimalpolynom über K.

Andere Beispiele

Man kann die skalare Multiplikation eines Vektorraums V mit seinem Grundkörper K als Operation auffassen: x.v := x*v. Dabei ist die multiplikative Gruppe K^* die Gruppe G und V die Menge M.

Eigenschaften

Operiert G auf M, dann bilden die Bahnen eine Zerlegung von M, das heißt: Je zwei Bahnen sind disjunkt oder gleich, und jedes Element von M liegt in einer Bahn. Denn man kann die folgende Äquivalenzrelation "~" definieren:

Sind x, y aus M, dann sei x~y, falls ein s in G existiert, so dass s.x = y ist.

Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind genau die Bahnen. Daraus folgt die

Bahnengleichung: Die Mächtigkeit von M ist gleich der Summe über die Länge aller Bahnen.

Ist x aus M, dann ist die Abbildung i: G/G_x -> G.x, i(s*G_x) = s.x, eine Bijektion. Denn ist s*G_x = t*G_x, dann ist p:=s^-1*t in G_x, also p.x = x und t.x = (s*p).x = s.x. Also ist i wohldefiniert. Offenbar ist i surjektiv (denn G.x besteht gerade aus allen s.x). i ist auch injektiv, denn es gilt: s.x = t.x

> s^-1t.x* = x

> s^-1*t in G_x ==> s*G_x = t*G_x.

Aus dieser Bijektion folgt für eine endliche Gruppe G

|G.x| * |G_x| = |G|

Insbesondere ist dann die Länge jeder Bahn ein Teiler der Ordnung von G.