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Wir betrachten zwei relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegte Bezugssysteme S (schwarz) und S' (rot) im Minkowski-Raum. Irgendeines der beiden Systeme (hier S) stellen wir rechtwinklig dar. Wie üblich ist w = c t.
Ein kontinuierlicher monochromatischer Lichtstrahl bewege sich längs der X-Achse nach rechts. Aus dem Lichtstrahl greife ich einen Wellenzug von gerade einer Wellenlänge λ heraus. Das Ende dieses Wellenzuges befinde sich zur Zeit t = 0 gerade in O.
Im Minkowski-Raum bewegt sich der Wellenzug auf der Winkelhalbierenden der Achsen der Bezugssysteme, also unter dem Winkel 45° nach rechts oben. Die Punkte am Anfang, in der Mitte und am Ende des Wellenzuges sind durch hellblaue Punkte dargestellt. Ihre Weltlinien sind hellblaue Linien; die Weltlinien der übrigen Punkte des Wellenzuges bilden einen hellblauen Doppelstreifen.
Im System S (schwarz) stellt sich die Wellenlänge λ als die Strecke OA dar, im System S' (rot) als die Strecke OB. Es ist also x(A) = λ und x'(B) = λ'. Offensichtlich ist λ' > λ. Die Koordinaten des Punktes B im System S sind (λ + c Δt; c Δt). Daraus kann x'(B) = λ' berechnet werden: Aus der Gleichung
der Lorentz-Transformationen ergibt sich mit x' = x'(B) = λ', x = λ + c Δt und t = Δt:
Gemäß Abbildung ist
und folglich
Oben eingesetzt ergibt:
Mit λ' = c/f' und λ = c/f ergibt sich für das Frequenzverhältnis
und schließlich
Bewegt sich das System S' gegenüber dem System S nach links, dann ist v durch (-v) zu ersetzen. Damit ist die grundlegende Formel für den optischen Doppler-Effekt hergeleitet, und zwar unabhängig davon, in welchen Systemen sich die Lichtquelle Q bzw. der Empfänger E befinden. Darüber kann beliebig verfügt werden, woraus sich dann die verschiedenen Fälle ergeben.
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2 2. Fall: Lichtquelle Q in S 3 Weblinks |
und
Dieses Ergebnis erweist sich als gleichwertig mit der Formel für den 1. Fall, wenn man bedenkt, dass sich S gegenüber S' nach links bewegt und daher v durch (-v) ersetzt werden muss.1. Fall: Lichtquelle Q in S'
E befindet sich dann in S (allgemein: immer im jeweils anderen System).
Da der betrachtete Wellenzug von links kommt, liegt auch Q links und bewegt sich auf E zu. Die Frequenz f' ist dann identisch mit der Quellenfrequenz fQ, die Frequenz f identisch mit der vom Empfänger wahrgenommenen Frequenz fE.
Also gilt für den Fall, dass sich Q auf E (oder E auf Q) zu bewegt:
2. Fall: Lichtquelle Q in S
In diesem Fall bewegt sich E von Q (oder Q von E) weg. Die Quellenfrequenz fQ ist dann identisch mit f, und die empfangene Frequenz fE ist identisch mit f'.
Also ist:
