Pendel

Pendel

Ein Pendel besteht aus einem Gewicht am Ende einer flexiblen oder starren Aufhängung (z.B. Seil oder Stab). Lenkt man ein Pendel aus seiner vertikalen Ruhelage aus, schwingt es unter dem Einfluss der Schwerkraft zurück und wird ohne den Einfluss von Dämpfung symmetrisch um den zentralen, tiefsten Punkt (seiner Ruheposition) schwingen.

Die regelmäßige Schwingungsperiode eines Pendels wurde bei der Konstruktion der ersten mechanischen Uhren genutzt.

Mathematische Beschreibung

Bei kleinen Auslenkwinkeln φ (< = 8°) kann man die Bewegung eines idealen Pendels mathematisch durch eine harmonische Schwingung beschreiben.

Die allgemeine Differentialgleichung zur Beschreibung eines Pendels ist

wobei ″ für die Ableitung nach der Zeit, g für die Gravitationskonstante, l für die Länge und m für die Masse des Pendels stehen.

Bei kleinem Auslenkungswinkel φ gilt

so dass sich die Gleichung zu

vereinfacht. Man erhält als spezielle Lösung

eine harmonische Schwingung (Cosinus-Funktion).

Da echte Pendel immer mehr als infinitesimal ausgelenkt werden, verhalten sie sich in Wirklichkeit nichtlinear. Außerdem ist die Dämpfung durch Reibungsverluste bei einem echten Pendel größer als Null, so dass die Auslenkungen ungefähr exponentiell mit der Zeit abnehmen.

Zwei aneinander befestigte Pendel bilden ein Doppelpendel, dessen Bewegungsabläufe in der Regel chaotisch sind.

Während ein Pendel nach obiger Differentialgleichung eine cos-förmige Bewegung aufweist, erzeugen linear gekoppelte Pendel (z.B. über Federn) komplexere Schwingungsmuster aus Überlagerungen von sog. Eigenschwingungen oder Moden mit zugehörigen Eigenfrequenzen.

Siehe auch: Foucaultsches Pendel, Pendeluhr, Physik, Federschwingung, Wasserschwingung in einem U-Rohr,Oszillator, Eigenwert.