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Fermat war der bedeutendste »Amateur« der Mathematikgeschichte, freilich zu einer Zeit, als die Mathematik als Fach nicht existierte. So beschränkte sich Fermats Einfluss auf Korrespondenz (in Form von Denksportaufgaben) mit anderen Interessierten und auf die von seinem Sohn vorgenommene Ausgabe seines Nachlasses, einschließlich der von ihm kommentierten Arithmetik des Diophant (s.u.). Er hat Beiträge zur Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Variations- und Differentialrechnung geleistet.
Nach Fermat sind benannt:
Fermatsches Prinzip, ein Variationsprinzip der Optik: »Das Licht nimmt den Weg, auf dem es am schnellsten ist.«, woraus das Reflexionsgesetz und das Snelliussche Brechungsgesetz folgen.
Als Fermatsche Zahlen werden sowohl Zahlen der Form 4*n + 1, als auch solche der Form 22n+1 bezeichnet. Letztere finden sich im Artikel Fermatsche Primzahl. Zu ersteren:
Fermatscher Primzahlensatz: Eine Primzahl ist genau dann die
Summe zweier Quadrate, wenn sie eine Fermatsche Primzahl ist.
Kleiner Fermatscher Satz: Sei p prim, dann gilt ap-1 ==
1 (mod p) für alle a aus {1, ..., p - 1}
Auf diesem Satz beruht der Fermatsche Primzahltest.
Fermatsche Vermutung: Der Satz von Fermat-Wiles :
Der berühmteste Satz von Fermat (Fermats letzter Satz) besagt, dass es für