Die Poincaré Vermutung wird von vielen als das bedeutendste
ungelöste Problem in der Topologie gehalten. Sie ist benannt nach Henri Poincaré und wurde von diesem 1904 formuliert. Im Jahr 2000 listete das Clay Mathematics Institute die Poincaré Vermutung unter den 7 bedeutendsten ungelösten mathematischen Problemen auf und verspricht für die
Lösung einen Preis von 1 Mio. Dollar.
Die Poincaré Vermutung besagt:
Jede n-Mannigfaltigkeit mit dem Homotopietyp einer n-Sphäre ist zur
n-Sphäre homöomorph.
Für n=2 ist die Aussage bewiesen, ebenso für jedes n > 3. Lediglich für den Spezialfall n=3 fehlt noch der Beweis.
Vereinfacht kann man die Poincaré Vermutung so beschreiben:
- Die Oberfläche einer Kugel ist 2-dimensional, beschränkt, randlos und jede geschlossene Kurve lässt sich auf einen Punkt zusammenziehen, welcher auch auf der Kugel liegt. Sie ist auch das einzige 2-dimensionale Gebilde mit diesen Eigenschaften. Auf einem Torus (etwa einem Fahrradschlauch) beispielsweise funktioniert das Zusammenziehen nicht immer, denn hier handelt es sich um eine 2-dimensionale Oberfläche auf einem 3-dimensionalen Körper. Bei der Poincaré-Vermutung geht es um das 3-dimensionale Analogon: hier geht es um eine 3-dimensionale "Oberfläche" auf einem 4-dimensionalen Körper.
Viele Mathematiker haben Beweise vorgelegt, die sich dann aber als falsch erwiesen. Dennoch haben einige dieser fehlerhaften Beweise das Verständnis der niedrig-dimensionalen Topologie erweitert.
Ende des Jahre 2002 tauchten Meldungen auf, der russische Mathematiker Grigori Perelman vom Steklov Mathematical Institute, St.Petersburg habe die Vermutung bewiesen. Derzeit wird dieser Beweis von Mathematikern überprüft.
siehe auch: Ungelöste Probleme der Mathematik
