| |
|
Der Graph der Funktion verschwindet bei Annäherung an die Polstelle im Unendlichen. Die Funktion hat an der Polstelle einen uneigentlichen Grenzwert, also plus oder minus unendlich. Der Graph besitzt an der Polstelle eine vertikale Asymptote.
Polstellen treten etwa bei Funktionen f(x) auf, die als Bruch zweier Funktionen u(x) und v(x) entstehen:
Polstellen treten aber nicht nur bei der Division von Funktionen mit Nullstellen auf. Die Logarithmus- und die Tangensfunktion sind Beispiele.
| Table of contents |
|
2 Allgemeine Funktionen |
Rationale Funktionen der Mathematik haben die Form
Da u(x) und v(x) Polynome sind, ist ihr Verhalten an ihren Nullstellen aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra bekannt:
die Nullstellen der Zähler- und Nennerfunktionen lassen sich ausfaktorisieren.
Wenn also u(x) und v(x) an der Stelle xo eine Nullstelle haben, so ist immer
Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren der Nullstellen kürzen.
Die Funktion
Die Funktion
Die Funktion
Die Ordnung des Pols beschreibt gleichzeitig das Verhalten des Funktionsgraphen an der Polstelle.
Bei einem Pol ungerader Ordnung springt der Graph aus dem positiven in den negativen Wertebereich oder umgekehrt. Bei der beidseitigen Untersuchung des Grenzwertes an der Polstelle macht sich dies in unterschiedlichen Vorzeichen der beiden Ergebnisse deutlich.
Ein Pol gerader Ordnung liegt vor, wenn der Graph sowohl links als auch rechts der Polstelle im Wertebereich mit dem gleichen Vorzeichen erscheint. Die beidseitigen Grenzwerte haben dann auch ein identisches Vorzeichen.
Aussagen zu allgemeinen Funktionen sind nicht möglich.
Unstetige Funktionen können ein beliebiges Verhalten zeigen, und sind individuell zu untersuchen.
Untersuchungsmethoden stammen aus der Analysis.
Die Funktion (Kehrwert des Sinus)
Die Tangens-Funktion
Die Logarithmus-Funktion
Spezialfall rationaler Funktionen
wobei u(x) und v(x) Polynomfunktionen sind.
und
wobei
Die Terme und bezeichnet man auch als die Ordnung der jeweiligen Nullstelle.
Derartige Polstellen werden nach ihrer Ordnung Nu-Nv bezeichnet.Beispiel
hat einen Pol 1. Ordnung bei x=0.
hat einen 3-fachen Pol bei x=2.
hat für x=-1 eine Polstelle der Ordnung 2, und für x=1 eine Polstelle 1. Ordnung.Ordnung von Polstellen
Allgemeine Funktionen
Beispiele
hat einfache ungerade Pole bei allen ganzzahligen Vielfachen von &pi.
hat ungerade Pole bei allen x=(n+1/2)π (n ganzzahlig).
hat einen Pol an der Stelle x=0, und ist für negative Werte undefiniert.