Primzahlsatz

Primzahlsatz

Der Primzahlsatz erlaubt eine endliche Abschätzung der Anzahl der Primzahlen. Er wurde bereits von Gauss um 1800 vermutet, aber erst 1896 unabhängig von Hadamard und de la Vallée Poussin bewiesen.

Sei die Primzahlfunktion, wobei p ∈ P, P Menge der Primzahlen gelte, und x reelle Zahl sei. π(x) ist für positive reelle Zahlen x definiert als die Anzahl der Primzahlen p ≤ x.

Weiterhin sei definiert: Zwei Funktionen f(x) und g(x), mit x reelle Zahl, heißen asymptotisch äquivalent, in Formelschreibweise f(x) ~ g(x), wenn der Quotient f(x) / g(x) für x gegen unendlich gegen 1 konvergiert.

Dann gilt folgender Primzahlsatz:

Die Funktionen π(x) und x / ln(x) sind asymptotisch äquivalent bzw .

Das bedeutet, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als x sind, anhand der Funktion x / ln(x) abgeschätzt werden kann. Genauer gesagt: Man weiß, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als x sind, größer ist als der Wert x / ln(x), wobei die verhältnismäßige Differenz mit zunehmendem x geringer wird. Zum Beispiel folgt daraus, dass es mehr als (100000 ÷ ln 100000 = 8685,89), also mehr als 8685 Primzahlen unter den ersten 100000 Zahlen gibt.

Tschebyschev präzisierte 1851 den Primzahlsatz durch folgende Ungleichung:

Adrien-Marie Legendre vermutete 1797/98, π(x) sei ungefähr gleich x / (ln x - 1,08366).

Die folgende Tabelle zeigt konkrete Werte des Primzahlsatzes sowie die Werte, die sich aus Legendres Formel ergeben.
x π(x) π(x) / x x / ln(x) π(x)*ln(x) / x Legendre

10 4 0,4000 4,34 0,9210 8

100 25 0,2500 21,71 1,1513 28

1 000 168 0,1680 144,76 1,1605 172

10 000 1 229 0,1225 1 085,74 1,1320 1,231

100 000 9 592 0,0959 8 685,89 1,1043 9,588

1 000 000 78 498 0,0785 72 382,41 1,0845 78,543

10 000 000 664 579 0,0665 620 420,69 1,0712 665,140

100 000 000 5 751 455 0,0575 5 428 681,02 1,0595 5,768,004

1 000 000 000 50 847 534 0,0508 48 254 942,43 1,0537 50,9175,19

Die folgende Tabelle zeigt konkrete Werte des Primzahlsatzes sowie die Werte, die sich aus Legendres Formel ergeben.
x	π(x)	π(x) / x	x / ln(x)	π(x)*ln(x) / x	Legendre
10	4	0,4000	4,34	0,9210	8
100	25	0,2500	21,71	1,1513	28
1 000	168	0,1680	144,76	1,1605	172
10 000	1 229	0,1225	1 085,74	1,1320	1,231
100 000	9 592	0,0959	8 685,89	1,1043	9,588
1 000 000	78 498	0,0785	72 382,41	1,0845	78,543
10 000 000	664 579	0,0665	620 420,69	1,0712	665,140
100 000 000	5 751 455	0,0575	5 428 681,02	1,0595	5,768,004
1 000 000 000	50 847 534	0,0508	48 254 942,43	1,0537	50,9175,19

Die Größe π(x) / x heißt Primzahldichte.