Die einfachste Parabel hat die Gleichung f(x) = x². Man nennt sie auch die Normalparabel. Allgemein lautet die Gleichung für Quadratische Funktionen f(x) = a x² + b x + c, wobei die Werte von a, b und c das Aussehen der Quadratischen Funktion beeinflussen.

Table of contents

1 Eigenschaften und Begriffe zur Normalparabel 2 Lage und Aussehen der allgemeinen Quadratischen Funktionen 3 Scheitelbestimmung 4 Quadratische Funktion als Kegelschnitt 5 Brennpunkt einer quadratischen Funktion

Eigenschaften und Begriffe zur Normalparabel

Normalparabel Die Normalparabel ist die einfachste der quadratischen Funktionen. Im Koordinatenursprung (0|0) hat die Normalparabel ihren so genannten Scheitel. Hier der tiefste Punkt auf der Kurve und auch derjenige in dem die Kurve am meisten gekrümmt ist. Die Normalparabel ist, wie jede andere quadratische Funktion Achsensysmmetrisch. Bei der Normalparabel ist die Symmetrieachse die y-Achse. Definitionsbereich: D = R Wertebereich: W = '''R +0

Lage und Aussehen der allgemeinen Quadratischen Funktionen

In der Gleichung f(x) = a x² + b x + c für die allgemeine quadratische Funktion. Die Werte der Parameter a, b und c bestimmen teilweise direkt das Aussehen und den Ort der quadratischen Funktion. Ist a = 1, b = 0 und c = 0 so erhält man wieder eine Normalparabel.

Parameter a
Wie der Wert von a das Aussehen verändert kann man am besten erkennen, wenn b = 0 und c = 0 ist. Man hat dann eine Normalparabel mit einem Faktor vor dem x².

a > 0 ... der Graph ist nach oben geöffnet

a < 0 ... der Graph ist nach unten geöffnet

|a| > 1 ... der Graph ist gestreckt, d.h. in die Länge gezogen, wodurch er schmäler erscheint.

|a| < 1 ... der Graph ist gestaucht, d.h. in die zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint.

Für a = -1 ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt.

Parameter b
Der Wert des Parameters b hat vor allem Auswirkungen auf die seitliche Verschiedung des Graphen. Allerdings bewirkt f(x) = x² + 1*x und f(x) = x² + 2*x gleichzeitig auch eine Verschiebung nach unten (siehe Bild).

Eine Verschiebung des Graphen um eine Einheit nach rechts (im Vergleich zur Normalparabel) ergibt sich dagegen bei f(x) = (x-1)² = x² - 2*x +1.

Parameter c
Eine Veränderung des Parameters c bewirkt Verschiebung in y-Richtung. Wird c um 1 erhöht, wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird c um 1 verringert, wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben.

Scheitelbestimmung

Beispiel: Bestimmung des Scheitels aus der Gleichung einer allgemeinen Parabel f(x) = 2 x ² + 4x + 5

	Die ursprüngliche Funktionsgleichung.
	Der Faktor a vor dem x 2 wurde ausgeklammert, wobei der Summand +5 ausgeschlossen bleibt.
	Es wird eine quadratische Ergänzung zu x 2 + 2x durchgeführt
	Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht möglich aus einem Teil des Terms ein Quadrat heraus zu ziehen.
	Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelöst, um den Term zu zu vereinfachen.
	In der Endform lässt sich nun der Scheitel S( -1 | 3 ) ablesen

Quadratische Funktion als Kegelschnitt