Unter einer Quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung mit einer Unbekannten (im Folgenden mit x bezeichnet), die nur positive ganze Exponenten hat und deren höchster Exponent 2 ist (die also aus Polynomen des Grades 2 aufgebaut ist).

Ein Beispiel ist

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet

x² + p·x + q = 0

Table of contents

1 Wurzeln (Lösungen) der quadratischen Gleichung 1.1 Lösungsformeln 1.2 Aussagen über die Wurzeln 2 Beispiele 3 Verallgemeinerung (abstrakte Algebra) 4 Links

Wurzeln (Lösungen) der quadratischen Gleichung

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jede quadratische Gleichung (mit reellen oder komplexen Koeffizienten) zwei Wurzeln, auch Lösungen genannt. Diese Lösungen, wenn sie für x in die Gleichung eingesetzt werden, erfüllen die Gleichung. Die Wurzeln sind im allgemeinen komplexe Zahlen, und nicht notwendigerweise reelle Zahlen. Wenn man sich auf reelle Wurzeln beschränkt, sind manche quadratischen Gleichungen somit nicht auflösbar. Außerdem gibt es auch den Fall, dass beide Wurzeln gleich sind; man spricht dann von einer doppelten Wurzel. Sind die Koeffizienten reelle Zahlen, dann sind entweder beide Wurzeln reell oder beide nicht reell.

Lösungsformeln

Zum Finden von Wurzeln einer quadratischen Gleichung kann man die Quadratische Ergänzung benutzen.

Daneben ist die pq-Formel verbreitet (auch kleine Lösungsformel genannt), sie wird im Artikel Quadratische Ergänzung hergeleitet.

Wenn die Gleichung in Normalform als

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen (die Diskriminante D) bestimmt für eine Gleichung mit reellen Koeffizienten, wie viele reelle Lösungen die Gleichung hat. Wenn

• D > 0, dann gibt es 2 reelle Lösungen,
• D = 0, dann gibt es 1 reelle Doppellösung,
• D < 0, dann gibt es keine reelle Lösung.

• Satzgruppe von Vietá
  • Das absolute Glied ist gleich dem Produkt der beiden Wurzeln.
  • Das lineare Glied ist gleich der Summe der beiden Wurzeln mit verkehrtem Vorzeichen.
  • Sind x₁ und x₂ die Wurzeln der Gleichung, dann gilt (x-x₁)(x-x₂)=0
• Ist das absolute Glied positiv, so haben beide Wurzeln gleiches Vorzeichen, sonst verschiedenes Vorzeichen:
  • Ist das lineare Glied negativ, sind beide Wurzeln positiv;
  • ist dagegen das lineare Glied positiv, sind beide Wurzeln negativ.
• Ist das lineare Glied mit einem Minuszeichen versehen, so hat die betragsmäßig größere Wurzel ein positives Vorzeichen (und umgekehrt).
• Ist das absolute Glied größer als das Quadrat der Hälfte des linearen Gliedes, so hat die Gleichung keine reellen Wurzeln (in dem Fall ist die Diskriminante D negativ).
• Eine quadratische Gleichung hat genau dann zwei ganzzahlige Wurzeln, wenn das absolute Glied ganzzahlig ist und sich als Produkt zweier Faktoren darstellen lässt, deren Summe unter Berücksichtigung der Vorzeichen das lineare Glied ergibt.

Verallgemeinerung (abstrakte Algebra)

Allgemein nennt man eine Gleichung der Form

x² + p·x + q = 0

Z.B. hat die quadratische Gleichung

x² - 1 = 0

Links

• http://www.bennoehr.com/qua-glei.htm
  • Javascript zur Lösung einer quadratischen Gleichung mit Ausgabe von Normalform, Radikand und Lösungsmenge