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Quaternionen sind eine vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht kommutativen Multiplikation.
Quaternionen werden formal als x0 + x1i + x2j + x3k ausgedrückt. Quaternionen lassen sich also als Linearkombinationen reeller Koeffizienten mit der Basis <1,i,j,k> darstellen.
Überträgt man die aus den Zahlenkörpern und bekannten Operationen + (Addition) und * (Multiplikation) auf , erhält man einen Schiefkörper.
| Addition | Multiplikation |
|---|---|
(x0 + x1i + x2j + x3k) + (y0 + y1i + y2j + y3k) |
(x0 + x1i + x2j + x3k) * (y0 + y1i + y2j + y3k) |
ist assoziativ und kommutativ |
ist assoziativ aber nicht kommutativ |
Dabei gilt:
ij = k jk = i ki = j ji = -k kj = -i ik = -jMan kann sehen, dass somit z.B. ijk = k2 = -1 ist.i2 = j2 = k2 = -1
| Table of contents |
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2 Praktische Anwendungen |
Die besondere Stellung der Komponente x0 ist offensichtlich, man bezeichnet sie analog zu den Komplexen Zahlen als Realteil s, während die Komponenten x1, x2 und x3 Imaginärteil v genannt werden. Bei der Multiplikation von Quaternionen a und b deren Realteil 0 ist, entsteht ein Quaternion deren Skalarteil s = − <a , b> bis auf das Vorzeichen dem Skalarprodukt entspricht, während der Vektorteil v = a x b, das Vektorprodukt von a und b ist.
Die Verallgemeinerung der Quaternionen auf die Dimension 8 wird Cayley-Zahlen oder Oktaven genannt.
Arthur Cayley entdeckte, dass sich mit Quaternionen Drehungen im Raum beschreiben lassen.
Genutzt wird dies heutzutage im Bereich der interaktiven Computergrafik, insbesondere bei Computerspielen. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von Rotationsmatrizen werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere, wenn viele Rotationen miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit.
Natürliche Zahlen -- Ganze Zahlen -- Rationale Zahlen -- Reelle Zahlen -- Komplexe Zahlen
Quaternionenprodukt
Praktische Anwendungen
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