Quersumme

Als Quersumme bezeichnet man die Summe der Ziffern einer natürlichen oder ganzen Zahl. Die Quersumme von 513 ist 5+1+3=9. Für 3 und 9 ist sie ein Teilbarkeitskriterium: Die Quersumme einer dezimalen Zahl n ist genau dann durch 3 oder 9 teilbar, wenn n durch 3 oder 9 teilbar ist.

Eine Verallgemeinerung sind gewichtete Quersummen, bei denen die Ziffern erst mit den Werten einer Zahlenfolge multipliziert und diese Ergebnisse dann aufaddiert werden. Es wird dabei mit der niederwertigsten Ziffer begonnen (bei der einfachen Quersumme ist die Reihenfolge egal). Ein Beispiel ist die periodische Folge 1, 3, 2, -1, -3, -2, ... Die gewichtete Quersumme der Zahl 422.625 ist (bei der niedrigsten Stelle angefangen):

5·1 + 2·3 + 6·2 - 2·1 - 2·3 - 4·2 = 5 + 6 + 12 - 2 - 6 - 8 = 7

Die so gewichtete Quersumme liefert eine Teilbarkeitsregel für die Zahl 7. Auch für andere natürliche Zahlen kann man solche periodischen Folgen finden, z.B.

Für die meisten Zahlen ist es jedoch nicht praktikabel, die Teilbarkeit mittels Quersummenbildung zu überprüfen.

Benutzen wir ein Zahlensystem mit der Basis n+1, und is t ein Teiler von n, dann ist eine Zahl durch t teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme (in diesem Zahlensystem) durch t teilbar ist.

Beispielsweise ist im Dezimalsystem n=9. Damit ist t ∈ {1,3,9}. Folglich kann man die Quersummenregelung zur Überprüfung der Teilbarkeit durch 3 und durch 9 anwenden.

Im Hexadezimalsystem ist n=15. Damit ist t ∈ {1,3,5,15}. Somit kann man die Quersummenregelung im Hexadezimalsystem zur Überprüfung der Teilbarkeit durch 3, durch 5 und durch 15 anwenden.

Algorithmus zur Quersummenberechnung (in Python-Schreibweise): 

def quersumme(k):
   qs=0
   while k:
       qs=qs + (k % 10)
       k= int(k/10)
   print qs

Hat die Quersumme einer Zahl k mehr als eine Stelle, läßt sich der Vorgang so oft wiederholen, bis das Ergebnis nur noch eine Stelle im jeweiligen Zahlensystem hat. Für die so erzeugten einstelligen Quersummen qs(k,t) gilt (t sei immer noch die Basis des Zahlensystems - 1):

Beispiel:
k sei 4582
Basis sei 10, dann ist t=9;
4582 => 4 + 5 + 8 + 2 = 19 19 => 1 + 9 = 10 10 => 1 + 0 = 1
d.h. qs(4582,9)=1 und es ist: 1 = 4582 mod 9

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