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Sie werden mathematisch als Vervollständigung der rationalen Zahlen definiert. Das heißt, sie sind Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dabei sind zwei Cauchy-Folgen äquivalent, wenn ihre (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. Wie man leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch.
Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch rationale Zahlen wird eine Ordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen damit ein geordneter Körper.
Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol R (stark betont dargestellt) verwendet. Weil dies handschriftlich nicht darstellbar ist, hat sich das Symbol eingebürgert.
Der Bereich der reellen Zahlen besteht also aus den rationalen (Bruchzahlen) und den irrationalen (z. B. pi und √2) Zahlen.