Runge-Kutta-Verfahren

Table of contents

1 Allgemeines
2 Details

2.1 Systeme von Differentialgleichungen
2.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung

Allgemeines

Das Runge-Kutta-Verfahren ist eine Methode der numerischen Mathematik zur Lösung von Differentialgleichungen. Es gibt sie von verschiedener Ordnung, die je nach Problemstellung ausgewählt werden können.

Das Runge-Kutta-Verfahren verwendet – wie die weitaus meisten numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen – den Ansatz, Ableitungen (Differentialquotientenen) durch (endliche) Differenzenquotientenen zu ersetzen. Die dabei bei nichtlinearen Funktionen notwendigerweise auftretenden Fehler (es werden sämtliche höheren Glieder der Taylor-Entwicklung vernachlässigt) können durch geeignete Kombinationen verschiedener Differenzquotienten teilweise kompensiert werden. Das Runge-Kutta-Verfahren ist nun eine solche Kombination, die Diskretisierungsfehler bis zur dritten Ableitung kompensiert.

Das Runge-Kutta-Verfahren kann nur für Anfangsbedingungen eingesetzt werden; für Randbedingungen müssen andere Verfahren eingesetzt werden.

Details

Sei

eine (gewöhnliche) Differentialgleichung 1.Ordnung mit den Anfangsbedingungen

und sei weiters h die gewünschte Schrittweite.

Dann wird der (angenäherte) Wert von

nach Runge wie folgt errechnet:

x y y'

Hinweis:In der Literatur wird häufig an Stelle der y'_X direkt die Schrittdifferenz k_X=h.y'_X angegeben. Das ist insbesonders hinsichtlich der in den folgenden Abschnitten angegebenen Anwendung auf Differentialgleichungen höherer Ordnung unpraktisch und wird darum (weil es die schematische Rechenarbeit unterbricht und auch sonst keinen Gewinn bringt) hier nicht verwendet.

Mit den neuen Werten x₁ und y₁ kann dann der nächste Rungeschritt durchgeführt werden.

Die erzielte Genauigkeit liegt – bei genügend glattem f(x,y) – in der Größenordnung von h⁴.

Systeme von Differentialgleichungen

Das obige Schema kann leicht auch auf Systeme von Differentialgleichungen

erweitert werden. Es ist nur für jede abhängige Variable eine eigene Spalte y_i resp. y'_i einzurichten und für jede die obigen Schritte auszuführen unter Verwendung der jeweiligen y_i der vorangegangenen Zeile.

Differentialgleichungen höherer Ordnung

Obwohl es Runge-Kutta-Verfahren gibt, die für Differentialgleichungen 2. oder höherer Ordnung speziell ausgelegt sind, hat sich in der Praxis herausgestellt, daß – insbesonders wenn über viele Schritte gegangen wird – das folgende Verfahren sehr brauchbar ist:

Sei

eine gewöhnliche Differentialgleichung n^ter Ordnung. Dann werden folgende Hilfsfunktionen eingeführt:

Wir erhalten dadurch ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen 1.Ordnung:

die nach dem im obigen Absatz angegeben Schema gerechnet werden können. In diesem speziellen Fall vereinfacht sich das Schema noch, da ja jedes u_i gleich u'_i-1 ist und daher für diese Ableitungen keine eigene Spalte vonnöten ist. Nur in der letzten Spalte muß f(x,u₀,u₁,…u_n-1) ausgewertet werden. Zu beachten ist allerdings, daß hier von rechts nach links zu rechnen ist, da ja für jeden Schritt die Ableitungen des Vorschrittes benötigt werden und genau diese ja nicht aufgeschrieben wurden, sondern quasi rechts vom aktuellen Wert eben errechnet wurden.