Der Satz des Pythagoras ist ein mathematischer Satz der Geometrie. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Fläche des Quadrats über seiner Hypotenuse (in der Grafik als c bezeichnet) gleich der Summe der Flächen der Quadrate über seinen Katheten (a und b) ist.

Mathematisch wird dies folgendermaßen ausgedrückt:

Sind a, b, c die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit c als Hypothenuse, so gilt

Gilt die Gleichung a² + b² = c² in einem Dreieck, so ist dieses Dreieck rechtwinklig.

Die Fläche des unteren Quadrats (rot) entspricht der Summe der Flächen der beiden anderen Quadrate (blau und grün)

Eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras sind der Höhensatz, der Kathetensatz. Er ist ein Sonderfall des Kosinussatzes.

Table of contents

1 Anwendungen 2 Beweise 2.1 Geometrischer Beweis durch Ergänzung 2.2 Scherungsbeweis 3 Pythagoräische Tripel 4 Geschichte 5 Weblinks

Anwendungen

Aus dem Satz des Pythagoras folgt: Die Länge der Hypotenuse ist gleich der Quadratwurzel aus der Summe von a² + b².

Seitenlängen 3, 4, 5 => 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² => Das Dreieck ist rechtwinklig.

Seitenlängen 4, 5, 6 => 4² + 5² = 16 + 25 = 41 ≠ 6² => Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Beweise

Der Beweis des Satzes ist auf viele Arten möglich, z. B.

Geometrischer Beweis durch Ergänzung

In ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten a,b und c (Hypothenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist:

Diagramm zum Ergänzungsbeweis

Die Flächen des linke und rechten Quadrats sind gleich (Seitenlänge a+b). Das linke besteht aus den vier Dreiecken (gelb) und einem Quadrat mit Seitenlänge c, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge a (blau) und einem mit Seitenlänge b (grün). Die rote Fläche (c²) entspricht also der Summe der blauen Fläche (a²) und grünen Fläche (b²), also c²=a²+b². Dies ist der Satz des Pythagoras.

Scherungsbeweis

Eine weitere Möglichkeit ist die Scherung der Kathetenquadrate in das Hypothenusenquadrat. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über eine zweifache Scherung und eine Drehung können die kleineren Quadrate dann in das große Quadrad eingepasst werden:

Veranschaulichung des Scherungsbeweises

Beim exakten Beweis muss dann über die Kongruenzsätze im Dreieck noch nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils den Hypothenusenabschnitten entspricht.

Pythagoräische Tripel

Ein pythagoräisches Tripel ist eine Gruppe von drei ganzen Zahlen, für die die Gleichung : gilt.

Das einfachste solche Tripel bilden die Zahlen 3,4 und 5 (wegen 3²+4²=5², also 9+16=25). Es wird in der "Gärtnerkonstruktion" von rechtwinkligen Parzellen oder Beeten verwendet:

Man bringe an einem Stück Schnur in regelmäßigen Abständen (etwa alle 50 cm) einen Knoten an und knote sie dann so zusammen, dass eine Schleife mit im Ganzen 12 Knoten entsteht. Nehmen jetzt drei Personen je einen Knoten in die Hand, so dass sich die Strecken zwischen ihnen wie 3:4:5 verhalten, so ist der Winkel zwischen den beiden kürzeren Seiten (Katheten) genau 90°.

Geschichte

Die ältesten bekannten mathematischen Aufzeichnungen mit dem Satz des Pythagoras finden sich auf babylonischen Tontafeln die in die Zeit der Hammurabi Dynastie datiert sind (1829 bis 1530 v.Chr).

Weblinks

• www.gautschy.ch Babylonische Astronomie, Rita Gautschy
• Wunderschöne Java-Applets
• Pythagoräische Tripel